幂级数展开式：函数的无限级数表示

幂级数展开式指的是将一个函数表示为幂级数的形式，即：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n$

其中，$a_n$为常数系数，$a$为幂级数的中心点，$x$为自变量。

常见的幂级数展开式包括：

1. 自然指数函数的幂级数展开式：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

2. 正弦函数的幂级数展开式：

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

3. 余弦函数的幂级数展开式：

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

4. 对数函数的幂级数展开式：

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

5. 三角函数的幂级数展开式：

$\tan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)x^{2n-1}}{(2n)!}$

其中，$B_{2n}$为伯努利数。