拉格朗日中值定理证明 - 详细步骤与解释

拉格朗日中值定理指出，若函数 'f(x)' 在闭区间 '[a,b]' 上连续，在开区间 '(a,b)' 上可导，则存在 'ξ ∈ (a,b)'，使得

'f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)'

证明：

考虑函数 'g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a)'，则 'g(a)=f(a)'，'g(b)=f(b)'，且

'g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)'

因此，'g'(a)=f'(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)'，'g'(b)=f'(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)'。

由于 'f(x)' 在闭区间 '[a,b]' 上连续，在开区间 '(a,b)' 上可导，因此 'g(x)' 在闭区间 '[a,b]' 上连续，在开区间 '(a,b)' 上可导。

根据罗尔定理，存在 'ξ ∈ (a,b)'，使得 'g'(ξ)=0'。即

'f'(ξ)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0'

移项即得

'f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)'

证毕。