集合上的二元运算及其性质 - 例题解析

(1) 运算表如下：

| a\ b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----|---|---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 | | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 | | 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

(2) 运算满足交换律，即$a \oplus b = b \oplus a$，因为$(ab) \mod 5 = (ba) \mod 5$。运算不满足结合律，例如$(1 \oplus 2) \oplus 3 = 0 \oplus 3 = 3$，而$1 \oplus (2 \oplus 3) = 1 \oplus 1 = 2$。运算没有单位元，因为对于任意$a \in S$，都不存在$b \in S$，使得$a \oplus b = a$。运算有零元$0$，因为对于任意$a \in S$，都有$0 \oplus a = a \oplus 0 = a$。

(3) 可逆元即存在逆元的元素，显然$1$，$2$，$3$，$4$都是可逆元，因为它们分别与$1$，$3$，$2$，$4$配对，使得$(ab) \mod 5 = 1$。它们的逆元分别为$1$，$3$，$2$，$4$。$0$不是可逆元，因为不存在$b \in S$，使得$0 \oplus b = 1$。