集合上的二元运算及其性质分析 - 以模5运算为例

(1) 运算表如下：

| a\b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 | | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 | | 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |

(2) 运算满足交换律，即$a\circ b=b\circ a$，例如$1\circ 3=3\circ 1=4$。但不满足结合律，例如$(1\circ 2)\circ 3=4\circ 3=2$，$1\circ (2\circ 3)=1\circ 1=1$，$(1\circ 2)\circ 3\neq 1\circ (2\circ 3)$。运算中有单位元，即存在元素$e$，使得$a\circ e=e\circ a=a$，此时$e=0$。但没有零元，即不存在元素$z$，使得$a\circ z=z\circ a=z$，因为对于任意$a\in S$，$a\circ 0=0\circ a=0$，而$0$不是$S$中的任意一个元素。

(3) 所有可逆元的逆元如下：

• 1的逆元为1本身，因为$1\circ 1=1$
• 2的逆元为3，因为$2\circ 3=1$
• 3的逆元为2，因为$3\circ 2=1$
• 4的逆元为4本身，因为$4\circ 4=1$