σp^2 最小值点求解：公式推导与解析

要求 σp^2 关于 a 的导数，首先我们可以将 σp^2 展开：

σp^2 = [(a - R2) / (R1 - R2)]^2 * σ1^2 + [(1 - (a - R2) / (R1 - R2))^2] * σ2^2 + 2 * [(a - R2) / (R1 - R2)] * (1 - (a - R2) / (R1 - R2)) * ρ * σ1 * σ2

对 σp^2 关于 a 求导，得到：

d(σp^2) / da = 2 * [(a - R2) / (R1 - R2)] * σ1^2 - 2 * [(1 - (a - R2) / (R1 - R2))] * σ2^2 + 2 * [(1 - 2 * (a - R2) / (R1 - R2))] * ρ * σ1 * σ2

令导数等于 0，解出最小值点：

2 * [(a - R2) / (R1 - R2)] * σ1^2 - 2 * [(1 - (a - R2) / (R1 - R2))] * σ2^2 + 2 * [(1 - 2 * (a - R2) / (R1 - R2))] * ρ * σ1 * σ2 = 0

将等式中的各项整理得：

2 * a * σ1^2 + 2 * R2 * σ1^2 - 2 * R2 * σ2^2 - 2 * a * σ2^2 + 2 * R2 * σ2^2 + 2 * ρ * σ1 * σ2 - 4 * a * ρ * σ1 * σ2 + 2 * R2 * ρ * σ1 * σ2 - 2 * ρ * σ1 * σ2 + 2 * a * ρ * σ1 * σ2 - 2 * R2 * ρ * σ1 * σ2 = 0

整理可得：

2 * a * (σ1^2 + σ2^2 - 2 * ρ * σ1 * σ2) + 2 * R2 * (σ1^2 - σ2^2 + ρ * σ1 * σ2) = 0

将等式中的各项整理得最终结果：

a = R2 * (σ2^2 - σ1^2 + ρ * σ1 * σ2) / (σ1^2 + σ2^2 - 2 * ρ * σ1 * σ2)

这就是 σp^2 的最小值点所对应的 a 的解。