证明不等式 ∏(1+aiaj)/(1-aiaj)≥1 并找出等号成立的条件

(1) 对于任意的 $i\neq j$，有 $|a_ia_j|<1$，因此 $1-a_ia_j>0$，进而 $$ \frac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}=\frac{(1-a_ia_j)+2a_ia_j}{1-a_ia_j}=1+\frac{2a_ia_j}{1-a_ia_j}>1. $$ 于是 $$ \prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}>\prod_{1\leq i<j\leq n}1=1. $$ 同时，对于任意的 $i$，有 $|a_i|<1$，因此 $1-a_i^2>0$，进而 $$ \frac{1+a_i}{1-a_i}=\frac{(1-a_i)+2a_i}{1-a_i}=1+\frac{2a_i}{1-a_i}>1. $$ 于是 $$ \prod_{i=1}^n \frac{1+a_i}{1-a_i}>1. $$ 两式相乘即得所求不等式。

(2) 当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时等号成立。证明如下：设 $A=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}\dfrac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}$，$B=\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{1+a_i}{1-a_i}$，则所求不等式等价于 $AB\geq 1$。当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时有 $A=1$，$B>1$，从而 $AB=1$，即等号成立。反之，若等号成立，则 $AB=1$，且 $B>1$，因此 $A=1$，即 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。