保守混沌系统：类型、特点和应用

保守混沌系统是一类重要的动力学系统，根据混沌系统能量是否守恒，分为耗散混沌系统和保守混沌系统。前者散度小于零，后者散度等于零，这是一种判断保守混沌系统的办法。此外，还有一种办法，那就是通过计算系统的李雅普洛夫指数来判断，若一个系统的全部李雅普洛夫指数之和为零，则说明这个系统是一个保守混沌系统。

在对保守混沌系统的不断研究中，保守混沌系统又进一步被分类，即根据其哈密顿能量是否保守，保守混沌系统被分类为哈密顿保守混沌系统和非哈密顿保守混沌系统[20]。对于哈密顿保守混沌系统来说，其要满足三个条件：一是能量守恒，二是体积守恒，三是其李雅普洛夫指数和为零。而对于非哈密顿保守混沌系统来说，只需要满足李雅普洛夫指数和为零即可。

在 20 世纪 60 年代，著名的 KAM 定理被提出，这个定理指出在保守的系统中混沌的存在可能性[21]。1964年，在研究三维星系运动时，第一个保守混沌系统被 Hénon 和 Heiles [22] 所提出。随后在 1969年，Walker 和 Ford [23] 通过研究，对保守系统中规则和不规则轨道的出现作了定性的认识。1994年，Sprott 提出了 Sprott A 系统[24]，该系统是三维的保守混沌系统，且在后期的研究中，Sprott A 系统被证明是 Nose Hoover 系统在特殊取值下的一个变式[25]。

近几年以来，一些各具特点的保守混沌系统被提出[26-35]。2015 年，Vaidyanathan S 等人 [26] 提出了一个无平衡的三维保守混沌系统，该系统有七项，其中有四个二次非线性项的，此外，该团队还设计了自适应控制器，实现了该保守混沌系统的全局混沌同步。2017 年，Cang 等人[27] 报道了两个四维自治保守混沌系统，并且利用雅可比矩阵迹、永续点理论和哈密顿能量理论，对这两个系统的守恒性做了验证。并通过相轨迹图、庞加莱截面和分岔图等方法，对混沌准周期流的存在做了证明。此外，他们还搭建了 Multisim 电路，其电路实验结果与数值结果基本吻合。2018 年，Singh J P 等人 [28] 提出了五个新的四维保守混沌系统，这几个系统有不一样的非双曲平衡点个数。2019 年，Qi guoyuan [29] 在研究亚欧拉方程时，提出了六个集成的四维欧拉方程，并从理论上证明了这六个四维哈密顿保守混沌系统的哈密顿能量和卡西米尔能量守恒。2020 年，Wang 等人 [30] 以理想电感-电容电路为引入点，提出了一种四维保守混沌系统。此外，他们还发现了该系统在参数固定的情况下，存在无穷多个周期轨道、准周期轨道和混沌轨道共存。2021 年，Qi 等人 [31] 构建了一个哈密顿保守混沌系统，是通过打破卡西米尔能量守恒，破坏其可积性得到的，该系统具有复杂的动力学特性，比如隐藏的保守轨道的共存。同年，Hu 等人 [32] 报道了一个具有能量守恒的保守混沌系统。这个系统有相同能量的共存轨道，但它只在能量上是保守的，体积不保守。此外，该系统具有时间反转对称性。同年，张等人[33] 考虑到保守系统应用于通信中的安全性更高，以此为目标，构建了一个五维哈密顿保守超混沌系统，该系统可以在较宽的参数范围内保持超混沌的状态。2022 年，贾红艳等人[34] 在分析观察一个三维保守混沌系统的基础上，将两个系统保持相等，从而基于现有保守混沌系统的特点，反推构建了一个四维保守混沌系统，该系统能量保守，体积不保守。同年，Leng 等人[35] 构造了具有特殊特性的分数阶保守混沌系统，该系统可以观察到超混沌行为，还存在着多个共存的轨道。此外，该保守混沌系统还可以通过改变参数而表现耗散性。

总之，保守混沌系统是一类重要的动力学系统，其具有能量守恒、体积守恒和李雅普洛夫指数和为零等特点。在过去几十年中，研究者们不断提出各种各样的保守混沌系统，并探索了其动力学特性，如周期轨道、准周期轨道和混沌轨道等。这些研究对于深入理解混沌现象和应用于实际系统控制具有重要意义。