114514x+10086y=114514 的正整数解个数

首先，将原式化简为：$229x+2y=229//times 500$。/n/n因为$229$是质数，所以$229x$和$229//times 500$互质。/n/n根据裴蜀定理，$229x+2y=229//times 500$有整数解的充要条件是 $/gcd(229,2)|229//times 500$。/n/n因为$/gcd(229,2)=1$，所以原式有整数解。/n/n设$229x+2y=229//times 500$的一组解为$(x_0,y_0)$，则原式的正整数解为$(x,y)=(x_0+2k//times 229, y_0-k//times 229)$，其中$k$为任意整数。/n/n因为$x$和$y$都是正整数，所以有$y_0//leq //frac{229//times 500}{2}=114500$。/n/n又因为$y_0$必须是$229$的倍数，所以$y_0$的取值范围是$229$的倍数中小于等于$114500$的最大值，即$y_0=114435$。/n/n因此，原式的正整数解共有$/boxed{499}$个，即$(x,y)=(2k//times 229+79,114435-k//times 229)$，其中$k=1,2,//cdots,499$。