标准布朗运动最小值 Xt 的分布

要求 X_t 的分布，我们需要计算 X_t 的累积分布函数（CDF）或概率密度函数（PDF）。首先，我们来计算 X_t 的 CDF。

对于任意的 t > 0，我们有：

X_t = min (0 ≤ s ≤ t) W_s

换句话说，X_t 是在区间 [0, t] 上的 W_s 的最小值。由于 W_s 是标准布朗运动，W_s 在 [0, t] 上是连续且几乎处处可微的。

我们可以根据最小值的性质来计算 X_t 的 CDF。对于任意给定的实数 a，我们有：

F(X_t ≤ a) = P(X_t ≤ a)

由于 X_t 是 W_s 的最小值，X_t ≤ a 意味着 [0, t] 上 W_s 的所有取值都小于等于 a。因此，我们可以表示 CDF 为：

F(X_t ≤ a) = P(W_s ≤ a, ∀0 ≤ s ≤ t)

由于标准布朗运动 W_s 在任意给定的时间点 s 上的取值都是连续且几乎处处可微的，W_s 在 [0, t] 上的取值将是一个连续的区间。因此，我们可以将概率表示为积分形式：

F(X_t ≤ a) = P(W_s ≤ a, ∀0 ≤ s ≤ t) = ∫[0,t] P(W_s ≤ a) ds

由于标准布朗运动 W_s 的取值遵循正态分布，我们可以使用正态分布的 CDF 来计算上述积分。

因此，我们可以得到 X_t 的 CDF 为：

F(X_t ≤ a) = ∫[0,t] P(W_s ≤ a) ds = ∫[0,t] Φ(a) ds = Φ(a)∫[0,t] 1 ds = Φ(a)t

其中，Φ(a) 表示标准正态分布的 CDF。

综上所述，X_t 的分布函数为：

F(X_t ≤ a) = Φ(a)t

这意味着 X_t 是一个参数为 t 的指数分布。