圆内接四边形面积计算 - 边长为3, 4, 5, 6

设圆的半径为$r$，则四边形的对角线分别为$2r$和$2\sqrt{r^2+\left(\frac{3+6}{2}\right)^2}=2\sqrt{r^2+4.5^2}$，根据正弦定理可得：

$\frac{3}{\sin\angle A}=\frac{6}{\sin\angle C}=2r$

$\frac{4}{\sin\angle B}=\frac{5}{\sin\angle D}=2\sqrt{r^2+4.5^2}$

由于相邻两个角的和为$180^\circ$，因此可以得到：

$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B-\angle D$

将上述三个式子带入，整理得到：

$\sin\angle B=\frac{10r}{\sqrt{36r^2+405}}$

$\sin\angle A=\frac{9}{\sqrt{36r^2+405}}$

四边形的面积为$S=\frac{1}{2}(AC\cdot BD)$，根据余弦定理可得：

$AC^2=4r^2+9+36-2\cdot 3\cdot 6\cdot\cos\angle A=40r^2-108r\sin\angle B$

$BD^2=4r^2+16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot\cos\angle B=40r^2-80r\sin\angle B$

因此，

$S=\frac{1}{2}(AC\cdot BD)=\frac{1}{2}\sqrt{(40r^2-108r\sin\angle B)(40r^2-80r\sin\angle B)}$

将$\sin\angle B$代入，整理得到：

$S=\frac{1}{2}\sqrt{3600-6480\sqrt{1+\frac{45}{4r^2}}}=30\sqrt{1-\frac{45}{4r^2+405}}$

由于四边形内接于圆，因此四边形的面积等于圆的面积，即$S=\pi r^2$。将上述两个式子联立，解得$r=\frac{15\sqrt{10}}{2}$，因此：

$S=\pi r^2=\frac{2250\pi}{4}$

因此，圆内接四边形的面积为$\frac{2250\pi}{4}$。