均匀分布星球密度计算：重力加速度与自转周期

首先，根据题意，可以列出以下方程：

$\frac{GM}{r_A^2}=\frac{9}{10}\cdot\frac{GM}{r_P^2}$

其中，$M$为星球质量，$r_A$和$r_P$分别为星球在$A$点和$P$点到中心$Q$的距离。因为星球质量均匀分布，所以可以得到：

$\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r_A^3}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r_P^3}$

将上式化简可得：

$\frac{r_A}{r_P}=\sqrt[3]{\frac{9}{10}}$

又因为星球自转的周期$T$等于星球绕中心$Q$一周的时间，所以有：

$T=\frac{2\pi r_A}{v}$

其中，$v$为星球在$A$点的线速度。根据万有引力定律可得：

$\frac{GM}{r_A^2}=\frac{Mv^2}{r_A}$

将上式整理可得：

$v=\sqrt{\frac{GM}{r_A}}$

将$v$代入$T$的公式，得到：

$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{GM}{r_A}}}$

将$\frac{GM}{r_A^2}$代入第一个方程，得到：

$\frac{M}{r_A^3}=\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{G}\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}$

将$r_A$代入上式，可以解出星球的密度$\rho$：

$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r_A^3}=\frac{10}{27}\cdot\frac{1}{G\pi}\cdot\frac{T^2}{\pi^2}$

综上所述，星球的密度为$\frac{10}{27}\cdot\frac{1}{G\pi}\cdot\frac{T^2}{\pi^2}$。