雅可比矩阵 - 定义、公式及应用 | 微积分与矩阵分析

雅可比矩阵（Jacobian matrix）是指多元实函数的偏导数组成的矩阵。对于一个有 'n' 个自变量和 'm' 个因变量的实函数 f(x1,x2,...,xn)=(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))，其雅可比矩阵为：

$$\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$

其中，第 'i' 行第 'j' 列的元素为 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$。雅可比矩阵在微积分、偏微分方程、矩阵分析等领域都有广泛应用。