已知函数 f(x) = (e^x) / x - ln x + x - a，求 a 的取值范围和证明 x1 * x2 < 1

(1) 当 x <= 1 时，由于 x > 0，因此 ln x <= 0，所以 e^x / x >= 1，因此 f(x) >= 1 - a > 0，所以 a < 1。 当 x > 1 时，由于 e^x / x 是单调递增函数，且 ln x 单调递增，因此 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，且 f(1) = e - 1 > 0，因此 f(x) >= 0 的解集为 (x∈[1, +∞))，此时 a 的取值范围为 a <= e - 1。 综上所述，a∈(-∞, 1)∩(-∞, e-1]=(-∞, 1)。

(2) 假设 x1 * x2 >= 1，则由于 x1 和 x2 是 f(x) 的零点，因此 f(x1) = f(x2) = 0，即 (e^x1) / x1 - ln x1 + x - a = 0，(e^x2) / x2 - ln x2 + x - a = 0。将两式相乘得到： (e^x1 * e^x2) / (x1 * x2) - (ln x1 + ln x2) - 2a + x1 + x2 = 0 由于 x1 和 x2 是 f(x) 的零点，因此 f(x) 在 (x1, x2) 和 (x2, x1) 上异号，即 f(x) 在 (x1, x2) 上单调递增，且 f(x) 在 (x2, x1) 上单调递减。由于 f(x1) = f(x2) = 0，因此 f(x) 在 (x2, x1) 上必须取负值，即 f(x2) < 0，f(x1) < 0。因此，将 x = x2 代入 f(x) 的表达式得到： (e^x2) / x2 - ln x2 + x2 - a < 0 移项得到： ln x2 - x2 + a > (e^x2) / x2 由于 x1 * x2 >= 1，因此 x2 >= 1 / x1，代入上式得到： ln x1 / x1 + a > (e^x2) / x2 因为 f(x) 在 (x1, x2) 上单调递增，且 f(x1) < 0，因此 f(x) < 0 在 (x1, x2) 上恒成立。因此，将 x = x1 代入 f(x) 的表达式得到： (e^x1) / x1 - ln x1 + x1 - a < 0 移项得到： ln x1 - x1 + a < (e^x1) / x1 由于 x1 * x2 >= 1，因此 x1 <= 1 / x2，代入上式得到： ln x2 / x2 + a < (e^x1) / x1 因为 f(x) 在 (x2, x1) 上单调递减，且 f(x2) < 0，因此 f(x) < 0 在 (x2, x1) 上恒成立。因此，将上述两个不等式相加，得到： ln(x1 / x2) + 2a < (e^x1 * e^x2) / (x1 * x2) 由于 x1 * x2 >= 1，因此 ln(x1 / x2) <= 0，因此有： 2a < (e^x1 * e^x2) / (x1 * x2) 因此，a < (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2)。而由于 x1 和 x2 是 f(x) 的零点，因此有： (e^x1) / x1 = (e^x2) / x2 即 e^(x1 - x2) = x1 / x2，因此有： (e^x1 * e^x2) / (x1 * x2) = e^(x1 + x2) 因此，a < e^(x1 + x2) / 2。因为 x1 和 x2 是 f(x) 的零点，因此有： f((x1 + x2) / 2) = ((e^(x1 + x2) / 2)) / ((x1 + x2) / 2) - ln((x1 + x2) / 2) + (x1 + x2) / 2 - a = 0 由于 x1 和 x2 是 f(x) 的零点，因此 f(x) 在 (x2, (x1 + x2) / 2) 上单调递增，且 f(x2) < 0，因此 f((x1 + x2) / 2) < 0。因此，a > e^(x1 + x2) / 2。综上所述，a 必须同时满足 a < e^(x1 + x2) / 2 和 a > (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2)，这在数轴上的位置如下图所示：

图中，P 表示 e^(x1 + x2) / 2，Q 表示 (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2)，R 表示左右两个不等式的交集。由于 P > Q，因此 R 的左端点是 Q，右端点是 P。因此，a 的取值范围为 a∈(Q, P)。因为 e^(x1 + x2) > 1，因此有： (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2) < e^(x1 + x2) / 2 因此，Q < (e^(x1 + x2)) / 2，即 P > (e^(x1 + x2)) / 2。因此，R = (e^(x1 + x2)) / 2，即 a 的取值范围为 a > (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2) 且 a < (e^(x1 + x2)) / 2。 综上所述，当 x1 * x2 >= 1 时，a 的取值范围为 a > (e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2) 且 a < (e^(x1 + x2)) / 2。当 a∈((e^x1 * e^x2) / (2x1 * x2), (e^(x1 + x2)) / 2) 时，f(x) 有两个零点 x1 和 x2，且 x1 * x2 < 1，证毕。