抛物线焦点、直线交点与斜角问题详解

(1) 由抛物线的性质可知，点'P'到焦点'F'的距离等于点'P'到准线的距离，即/n/n$$/sqrt{(x-1)^2+y^2}=|y|$$ /n/n化简可得/n/n$$x^2-2x-3y^2=0$$/n/n即为所求的抛物线方程。/n/n当直线'L'垂直于'x'轴时，'L'与'x'轴重合，交点为(2,0)。/n/n(2) 设直线'L'的斜率为'k'，则'L'的方程为/n/n$$y=k(x-2)$$/n/n将'L'代入抛物线方程中，得到一个关于'x'的二次函数/n/n$$x^2-2x-3k^2(x-2)^2=0$$/n/n化简可得/n/n$$3k^2x^2-(12k^2+2)x+12k^2=0$$/n/n根据二次函数的性质，当'x'取得最大值时，有/n/n$$x=/frac{12k^2+2}{6k^2}=2+/frac{1}{3k^2}$$/n/n将'x'代入直线方程，得到直线的截距/n/n$$y=k/left(2+/frac{1}{3k^2}-2/right)=/frac{1}{3k}$$/n/n综上所述，当直线'L'与抛物线的交点为'Q_1(2,0)'和'Q_2(x,/frac{1}{3k})'时，'L'的方程为/n/n$$y=k(x-2)+/frac{1}{3k}$$/n/n其中'k'为任意实数。