数学家教你用并查集优化列车调度：最小机车数量与均衡分配

数学模型：

首先，我们需要将所有的列车按照到达时间从早到晚排序，然后依次处理每一辆列车。对于每一辆列车，我们需要判断其是否需要使用机车，即该列车的到达时间是否早于上一辆出发列车的出发时间加上机车整备作业时间。如果需要使用机车，则我们需要将该列车和上一辆出发列车的机车归为同一个集合，表示它们需要共用一辆机车。如果不需要使用机车，则该列车可以直接出发，无需等待机车。最后，我们统计集合的数量，即为所需机车的最小数量。

符号说明：

我们定义一个包含所有列车的集合 S，其中每个元素表示一辆列车。对于每一辆列车 i，我们定义以下符号：

• a_i 表示列车 i 的到达时间；- d_i 表示列车 i 的出发时间；- p_i 表示列车 i 的出发列车；- f_i 表示列车 i 的到达列车；- r_i 表示列车 i 所属的机车集合的代表元素。

并查集原理：

并查集是一种用于维护集合的数据结构，支持两个操作：查找和合并。查找操作用于确定某个元素属于哪个集合，合并操作用于将两个集合合并成一个集合。并查集可以用于解决集合的合并和查询问题。并查集的具体实现方式有多种，常见的有基于数组和基于树的实现方式。

参考文献：

[1] 朱彦斌，算法竞赛入门经典，北京：人民邮电出版社，2019。

[2] Tarjan R. E. Efficiency of a Good But Not Linear Set Union Algorithm[J]. Journal of the ACM, 1975, 22(2): 215-225.

[3] 并查集，维基百科，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86，访问时间：2021年6月10日。