拉格朗日乘子法求解带约束条件的极值问题

拉格朗日乘子法是一种求解带约束条件的极值问题的常用方法。其基本思想是将约束条件引入目标函数，构造一个新的函数，称为拉格朗日函数。

拉格朗日函数的公式为：

L(x,λ) = f(x) + λg(x)

其中，f(x)是目标函数，g(x)是约束条件，λ是拉格朗日乘子。

对L(x,λ)分别对x和λ求导，令其等于0，即可求出x和λ的值，进而求得目标函数的极值。

例如，求解以下优化问题的极值：

minimize f(x, y) = x^2 + y^2

subject to g(x, y) = x + y - 1 = 0

可以构造拉格朗日函数：

L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)

对L(x, y, λ)分别对x, y, λ求导，并令其等于0：

∂L/∂x = 2x + λ = 0
∂L/∂y = 2y + λ = 0
∂L/∂λ = x + y - 1 = 0

解此方程组，得到x = y = 1/2，λ = -1。因此，目标函数的最小值为f(1/2, 1/2) = 1/2。