数学建模：使用并查集优化机车调度方案

使用并查集优化机车调度方案/n/n本文将介绍如何使用并查集数据结构来优化机车调度方案，以实现最少机车数量和均衡使用。/n/n问题描述：/n/n假设有两个火车站 A 和 B，已知列车到达和出发时刻表，机车整备作业时间为 100 分钟。如何安排机车牵引列车，使得机车数量最少，并且机车使用均衡？/n/n数据表格:/n/n* 表 1 A 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 18:30 |/n| 304 | 22:00 |/n| 306 | 01:20 |/n| 308 | 02:10 |/n| 310 | 04:40 |/n| 312 | 07:00 |/n| 314 | 10:00 |/n| 316 | 12:00 |/n| 318 | 14:30 |/n| 320 | 16:30 |/n/n* 表 2 A 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 18:20 |/n| 303 | 21:20 |/n| 305 | 23:30 |/n| 307 | 03:30 |/n| 309 | 05:20 |/n| 311 | 08:30 |/n| 313 | 12:30 |/n| 315 | 15:50 |/n/n* 表 3 B 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 03:50 |/n| 303 | 07:20 |/n| 305 | 09:30 |/n| 307 | 12:30 |/n| 309 | 14:50 |/n| 311 | 18:00 |/n| 313 | 22:30 |/n| 315 | 00:50 |/n/n* 表 4 B 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 09:00 |/n| 304 | 12:00 |/n| 306 | 14:20 |/n| 308 | 16:00 |/n| 310 | 18:40 |/n| 312 | 21:30 |/n| 314 | 00:30 |/n| 316 | 03:30 |/n| 318 | 05:00 |/n| 320 | 07:00 |/n/n解决方案：/n/n1. 建立时间轴和节点: 首先，将所有列车的到达时间和出发时间按照时间顺序排列，形成一个时间轴。每个时间点对应一个节点，表示该时间点需要使用机车。/n/n2. 并查集维护: 使用并查集来维护机车的使用情况。每个节点对应一个集合元素。对于每个时间点，如果到达和出发列车的时间差小于等于 100 分钟，则将它们对应的节点合并到同一个集合中。/n/n3. 合并集合: 如果前一个时间点的集合与当前时间点的集合需要使用同一台机车（即时间差小于等于 100 分钟），则将这两个集合合并。同理，对于当前时间点和下一个时间点，也进行同样的操作。/n/n4. 最终结果: 并查集中不同集合的数量即为最少需要的机车数量。/n/n数学模型:/n/n设 $n$ 为时间点的数量，$m$ 为列车的数量，$t_i$ 为第 $i$ 个时间点的时刻，$a_i$ 为到达该时间点的列车编号（若无则为 0），$d_i$ 为出发该时间点的列车编号（若无则为 0）。$p$ 为机车整备作业时间（100 分钟）。/n/n我们将每个时间点看作一个元素，将所有元素按照时间顺序排序并编号为 $1,2,/dots,n$。对于每个时间点 $i$，我们可以建立两个集合 $S_i$ 和 $T_i$，分别表示从前一个时间点到达该时间点的列车和从该时间点出发到达下一个时间点的列车需要使用机车。如果某个时间点既有到达列车又有出发列车，则将其对应的集合合并。/n/n接下来，对于每个时间点 $i$，我们可以将其与前一个时间点 $i-1$ 和后一个时间点 $i+1$ 的集合合并，即：/n/n$$ /begin{aligned} &S_i/cup T_{i-1}/quad (a_i/neq 0/text{ 或 }d_{i-1}/neq 0/text{ 且 }t_i-t_{i-1}/leq p)// &T_i/cup S_{i+1}/quad (d_i/neq 0/text{ 或 }a_{i+1}/neq 0/text{ 且 }t_{i+1}-t_i/leq p) /end{aligned} $$ /n/n最终，我们可以通过并查集中不同集合的数量来得到最少需要的机车数量。/n/n原理:/n/n并查集是一种用于维护集合的数据结构，可以高效地进行合并和查找操作。在本问题中，我们使用并查集来维护每个时间点需要使用机车的列车集合。具体来说，对于每个时间点，我们建立两个集合 $S_i$ 和 $T_i$，分别表示从前一个时间点到达该时间点的列车和从该时间点出发到达下一个时间点的列车需要使用机车。然后，对于每个时间点，我们将其与前一个时间点和后一个时间点的集合合并，即根据当前时间点和前一个时间点之间的列车和当前时间点和后一个时间点之间的列车是否需要使用机车来决定合并哪些集合。最终，我们可以通过并查集中不同集合的数量来得到最少需要的机车数量。/n/n代码示例:/n/npython/nclass UnionFind:/n def __init__(self, n):/n self.parent = list(range(n))/n self.rank = [0] * n/n/n def find(self, u):/n if self.parent[u] != u:/n self.parent[u] = self.find(self.parent[u])/n return self.parent[u]/n/n def union(self, u, v):/n root_u = self.find(u)/n root_v = self.find(v)/n if root_u == root_v:/n return/n if self.rank[root_u] < self.rank[root_v]:/n self.parent[root_u] = root_v/n elif self.rank[root_u] > self.rank[root_v]:/n self.parent[root_v] = root_u/n else:/n self.parent[root_v] = root_u/n self.rank[root_u] += 1/n/n# 时间点信息/ntimes = [/n (18, 30, 302, 0), # A 站到达/n (18, 20, 0, 301), # A 站出发/n (22, 0, 304, 0), # A 站到达/n (21, 20, 0, 303), # A 站出发/n (01, 20, 306, 0), # A 站到达/n (23, 30, 0, 305), # A 站出发/n (02, 10, 308, 0), # A 站到达/n (03, 30, 0, 307), # A 站出发/n (04, 40, 310, 0), # A 站到达/n (05, 20, 0, 309), # A 站出发/n (07, 0, 312, 0), # A 站到达/n (08, 30, 0, 311), # A 站出发/n (10, 0, 314, 0), # A 站到达/n (12, 0, 316, 0), # A 站到达/n (12, 30, 0, 313), # A 站出发/n (14, 30, 318, 0), # A 站到达/n (15, 50, 0, 315), # A 站出发/n (16, 30, 320, 0), # A 站到达/n (03, 50, 301, 0), # B 站到达/n (09, 0, 302, 0), # B 站出发/n (07, 20, 303, 0), # B 站到达/n (12, 0, 304, 0), # B 站出发/n (09, 30, 305, 0), # B 站到达/n (14, 20, 306, 0), # B 站出发/n (12, 30, 307, 0), # B 站到达/n (16, 0, 308, 0), # B 站出发/n (14, 50, 309, 0), # B 站到达/n (18, 40, 310, 0), # B 站出发/n (18, 0, 311, 0), # B 站到达/n (21, 30, 312, 0), # B 站出发/n (22, 30, 313, 0), # B 站到达/n (00, 30, 314, 0), # B 站出发/n (00, 50, 315, 0), # B 站到达/n (03, 30, 316, 0), # B 站出发/n (05, 0, 318, 0), # B 站出发/n (07, 0, 320, 0), # B 站出发/n]/n/n# 排序时间点/ntimes.sort()/n/n# 创建并查集/nuf = UnionFind(len(times))/n/n# 整备时间/np = 100/n/n# 合并集合/nfor i in range(1, len(times)):/n prev_time = times[i - 1]/n curr_time = times[i]/n # 检查是否需要合并/n if (prev_time[2] != 0 or curr_time[3] != 0) and (curr_time[0] - prev_time[0] * 60 - prev_time[1] + curr_time[1] <= p):/n uf.union(i - 1, i)/n/n# 计算最少机车数量/nnum_locomotives = len(set([uf.find(i) for i in range(len(times))]))/n/nprint(f'最少需要的机车数量：{num_locomotives}')/n/n/n注意：/n/n1. 在建立集合时，需要将到达和出发列车分别考虑，并将它们对应的集合合并。/n2. 在合并集合时，需要根据列车之间的时间差来判断是否需要使用机车，并将对应的集合合并。/n3. 在使用并查集时，需要注意维护集合的数量，并及时更新答案。/n4. 在代码实现时，可以使用路径压缩和按秩合并等优化方法来提高效率。/n/n结论：/n/n通过并查集数据结构，我们可以有效地解决机车调度问题，并获得最少机车数量和均衡使用方案。并查集的应用为解决此类优化问题提供了高效的算法工具。/n