欧拉函数性质证明：当 a 是 p 的倍数时，证明 φ(a × p) = φ(a) × p

"欧拉函数性质证明：当 a 是 p 的倍数时，证明 φ(a × p) = φ(a) × p"\n根据欧拉函数的定义，对于任意正整数 n，有\n$\varphi(n) = n \times \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \times \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \times \ldots \times \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)$\n其中 p_1, p_2, \ldots, p_k 是 n 的所有不同的质因数。因此，我们需要证明对于任意质数 p，有\n$\varphi(a \times p) = \varphi(a) \times p$\n首先，我们知道 a 是 p 的倍数，即存在正整数 k，使得 $a = k \times p$。因此，$a \times p = k \times p^2$。\n接下来，我们来计算 $\varphi(a \times p)$：\n$\varphi(a \times p) = (a \times p) \times \left(1 - \frac{1}{p}\right) = (k \times p^2) \times \left(1 - \frac{1}{p}\right)$\n然后，我们来计算 $\varphi(a) \times p$：\n$\varphi(a) \times p = (a) \times \left(1 - \frac{1}{p}\right) \times p = (k \times p) \times \left(1 - \frac{1}{p}\right) \times p = (k \times p) \times \left(1 - \frac{1}{p}\right) \times p$\n由于 $a = k \times p$，所以 $\varphi(a \times p) = \varphi(a) \times p$。\n综上所述，对于任意质数 p，若 a 是 p 的倍数，则有 $\varphi(a \times p) = \varphi(a) \times p$。