运筹学与交通专业：优化机车调度方案

运筹学与交通专业：优化机车调度方案/n/n一、问题描述:/n/n假设有两站 A 和 B，A 站有 10 列到达列车和 8 列出发列车，B 站有 8 列到达列车和 10 列出发列车。已知到达和出发列车车次和时刻，如表 1 至表 4 所示。机车整备作业时间为 100 分钟。/n/n表 1 A 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 18:30 | /n| 304 | 22:00 | /n| 306 | 01:20 | /n| 308 | 02:10 | /n| 310 | 04:40 | /n| 312 | 07:00 | /n| 314 | 10:00 | /n| 316 | 12:00 | /n| 318 | 14:30 | /n| 320 | 16:30 | /n/n表 2 A 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 18:20 | /n| 303 | 21:20 | /n| 305 | 23:30 | /n| 307 | 03:30 | /n| 309 | 05:20 | /n| 311 | 08:30 | /n| 313 | 12:30 | /n| 315 | 15:50 | /n/n表 3 B 站到达列车时刻表/n/n| 到达列车 | 到达时刻 |/n|---|---| /n| 301 | 03:50 | /n| 303 | 07:20 | /n| 305 | 09:30 | /n| 307 | 12:30 | /n| 309 | 14:50 | /n| 311 | 18:00 | /n| 313 | 22:30 | /n| 315 | 00:50 | /n/n表 4 B 站出发列车时刻表/n/n| 出发列车 | 出发时刻 |/n|---|---| /n| 302 | 09:00 | /n| 304 | 12:00 | /n| 306 | 14:20 | /n| 308 | 16:00 | /n| 310 | 18:40 | /n| 312 | 21:30 | /n| 314 | 00:30 | /n| 316 | 03:30 | /n| 318 | 05:00 | /n| 320 | 07:00 | /n/n任务：/n/n如何安排机车牵引列车，使得机车数量最少，并且机车使用均衡？/n/n二、问题分析：/n/n本问题可以看作是一道调度问题，需要将机车分配给列车，使得机车数量最少，并且机车使用均衡。同时，还需要考虑到机车整备作业时间为 100 分钟，因此需要合理安排机车的使用时间，以最大化机车的利用率。/n/n三、数学模型：/n/n1. 定义变量：/n/n* 设 $x_{i,j}$ 表示第 $i$ 辆机车是否被分配给第 $j$ 列车，若分配，则 $x_{i,j}=1$，否则 $x_{i,j}=0$。/n* 设 $t_{i,j}$ 表示第 $i$ 辆机车被分配给第 $j$ 列车的开始使用时间。/n/n2. 目标函数：/n/n* 最小化机车数量，即 $/min /sum_{i=1}^{n}/sum_{j=1}^{m}x_{i,j}$。/n/n3. 约束条件：/n/n* (1) 每辆机车只能被分配一次，即 $/sum_{j=1}^{m}x_{i,j}=1$；/n* (2) 每列车需要被一辆机车牵引，即 $/sum_{i=1}^{n}x_{i,j}=1$；/n* (3) 机车使用时间不能超过整备作业时间，即 $t_{i,j}+d_{i,j}/leq t_{k,j} /text{或} t_{k,j}+d_{k,j}/leq t_{i,j}$，其中 $d_{i,j}$ 表示第 $i$ 辆机车牵引第 $j$ 列车需要的时间；/n* (4) 机车使用时间不能与其他列车的使用时间重叠，即 $t_{i,j}+d_{i,j}/leq t_{i,k} /text{或} t_{i,k}+d_{i,k}/leq t_{i,j}$，其中 $d_{i,k}$ 表示第 $i$ 辆机车牵引第 $k$ 列车需要的时间；/n* (5) 机车使用时间不能超过列车到站时间，即 $t_{i,j}+d_{i,j}/leq a_{j}$，其中 $a_{j}$ 表示第 $j$ 列车到站时间；/n* (6) 机车使用时间不能早于列车发车时间，即 $t_{i,j}/geq d_{j,i}$，其中 $d_{j,i}$ 表示第 $j$ 列车等待第 $i$ 辆机车的时间。/n/n四、算法公式：/n/n本问题可以使用整数规划求解，具体模型和算法如下：/n/n模型：/n/n$$/begin{aligned}/min &/sum_{i=1}^{n}/sum_{j=1}^{m}x_{i,j} //s.t. &/sum_{j=1}^{m}x_{i,j}=1, /forall i=1,2,/cdots,n //&/sum_{i=1}^{n}x_{i,j}=1, /forall j=1,2,/cdots,m //&t_{i,j}+d_{i,j}/leq t_{k,j} /text{或} t_{k,j}+d_{k,j}/leq t_{i,j}, /forall i,k=1,2,/cdots,n, j=1,2,/cdots,m //&t_{i,j}+d_{i,j}/leq a_{j}, /forall i=1,2,/cdots,n, j=1,2,/cdots,m //&t_{i,j}/geq d_{j,i}, /forall i=1,2,/cdots,n, j=1,2,/cdots,m //&x_{i,j}/in/{0,1/}, /forall i=1,2,/cdots,n, j=1,2,/cdots,m //&t_{i,j}/in R, /forall i=1,2,/cdots,n, j=1,2,/cdots,m/end{aligned}$$ /n/n算法：/n/n(1) 枚举机车数量 $k$，从小到大依次求解整数规划模型，直到找到最小的 $k$，表示需要的最少机车数量；/n(2) 对于每个 $k$，使用 Gurobi 求解整数规划模型，得到每辆机车的分配情况和开始使用时间；/n(3) 根据得到的结果，计算每辆机车的使用时间和利用率；/n(4) 找到利用率最小的机车，将其从分配中排除，重新从步骤(1)开始，直到达到机车数量最小且机车使用均衡的分配方案。/n/n五、MATLAB代码：/n/n以下是使用 Gurobi 求解整数规划模型的 MATLAB 代码：/n/nMATLAB/n% 定义变量/nx = binvar(n, m); % 机车分配矩阵/nt = sdpvar(n, m); % 机车开始使用时间/n/n% 设置目标函数/nobjective = sum(sum(x));/n/n% 设置约束条件/nconstraints = [/n sum(x, 2) == 1, % 每辆机车只能被分配一次/n sum(x, 1) == 1, % 每列车需要被一辆机车牵引/n % ... 其他约束条件/n];/n/n% 使用 Gurobi 求解/noptions = optimoptions('intlinprog', 'Algorithm', 'interior-point');/n[x_sol, fval, exitflag, output] = intlinprog(objective, [], [], constraints, [], [], [], options);/n/n% 输出结果/nif exitflag == 1/n disp('找到最优解');/n disp(['最少机车数量：', num2str(fval)]);/n disp('机车分配方案：');/n disp(x_sol);/n disp('机车开始使用时间：');/n disp(t_sol);/nelse/n disp('未找到最优解');/nend/n/n/n六、结果分析：/n/n通过运行 MATLAB 代码，可以得到最少机车数量和机车分配方案。此外，还可以计算每辆机车的使用时间和利用率，并分析机车使用均衡情况。根据分析结果，可以进一步优化机车调度方案，提高机车利用率，减少机车数量。/n/n七、结论：/n/n本文通过运筹学方法对机车调度问题进行建模和求解，并使用 MATLAB 代码实现。通过对代码进行调试和分析，可以找到最优的机车调度方案，有效地提高机车利用率，减少机车数量，降低运营成本。/n/n八、未来展望：/n/n未来可以将该模型扩展到更复杂的场景，例如考虑列车延误、机车故障等因素，并进一步优化模型和算法，提高机车调度方案的效率和可靠性。/n