最小二乘法推导：如何解机器学习目标函数？

最小二乘法是一种常用的线性回归方法，其本质是通过最小化残差平方和来拟合数据。推导过程如下：/n/n假设有 'n' 个样本，每个样本有 'm' 个特征，用 X 表示 'n × m' 的特征矩阵，用 y 表示 'n' 维的标签向量，则线性回归模型可以表示为：/n/n$$/hat{//mathbf{y}} = //mathbf{X}//boldsymbol{//beta}$$/n/n其中，$//boldsymbol{//beta}$ 是 'm' 维的系数向量，$//hat{//mathbf{y}}$ 是 'n' 维的预测值向量。我们的目标是找到最优的系数向量 $//boldsymbol{//beta}$，使得预测值向量 $//hat{//mathbf{y}}$ 尽可能接近标签向量 y，即最小化残差平方和：/n/n$$/min_{//boldsymbol{//beta}} //sum_{i=1}^{n} (//hat{y_i} - y_i)^2 = //min_{//boldsymbol{//beta}} || //mathbf{X}//boldsymbol{//beta} - //mathbf{y} ||^2$$/n/n对上式求导，令导数为 0，即可得到最优系数向量 $//boldsymbol{//beta}$ 的解析表达式：/n/n$$/boldsymbol{//beta} = (//mathbf{X}^T //mathbf{X})^{-1} //mathbf{X}^T //mathbf{y}$$/n/n真正的机器学习中，目标函数的解法则因任务而异。例如，在分类任务中，我们通常使用交叉熵作为目标函数，通过梯度下降等优化算法来最小化交叉熵。在聚类任务中，我们可以使用 K-Means 算法来最小化类内方差。在强化学习中，我们则通常使用值函数或策略函数来描述任务，通过在线学习、蒙特卡洛方法等算法来优化目标函数。因此，不同的机器学习任务需要选择合适的目标函数和解法。