用幂法求矩阵主特征值和特征向量 - 详细步骤和示例

首先任取一个非零向量作为初始向量，假设为[1,1,1]，进行迭代计算，直到特征值稳定到3位小数：

第一次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(1)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(0)}\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\ 1\ 1 \end{bmatrix}\ &=\begin{bmatrix} 8\ 6\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(1)}=\frac{x_1^{(1)}}{x_1^{(0)}}=\frac{8}{1}=8 $$

第二次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(2)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(1)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(1)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8\ 6\ 0 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 8\ 6\ 0 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.9352\ 0.3536\ -0.0454 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(2)}=\frac{x_1^{(2)}}{x_1^{(1)}}=\frac{0.9352}{8}=0.1169 $$

第三次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(3)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(2)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(2)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.9352\ 0.3536\ -0.0454 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.9352\ 0.3536\ -0.0454 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.5705\ 0.6445\ 0.5105 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(3)}=\frac{x_1^{(3)}}{x_1^{(2)}}=\frac{0.5705}{0.9352}=0.6101 $$

第四次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(4)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(3)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(3)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.5705\ 0.6445\ 0.5105 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.5705\ 0.6445\ 0.5105 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.4375\ 0.6110\ 0.6593 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(4)}=\frac{x_1^{(4)}}{x_1^{(3)}}=\frac{0.4375}{0.5705}=0.7662 $$

第五次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(5)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(4)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(4)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.4375\ 0.6110\ 0.6593 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.4375\ 0.6110\ 0.6593 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.3566\ 0.5871\ 0.7276 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(5)}=\frac{x_1^{(5)}}{x_1^{(4)}}=\frac{0.3566}{0.4375}=0.8140 $$

第六次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(6)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(5)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(5)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.3566\ 0.5871\ 0.7276 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.3566\ 0.5871\ 0.7276 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.3073\ 0.5346\ 0.7874 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(6)}=\frac{x_1^{(6)}}{x_1^{(5)}}=\frac{0.3073}{0.3566}=0.8625 $$

第七次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(7)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(6)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(6)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.3073\ 0.5346\ 0.7874 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.3073\ 0.5346\ 0.7874 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.2851\ 0.4978\ 0.8197 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(7)}=\frac{x_1^{(7)}}{x_1^{(6)}}=\frac{0.2851}{0.3073}=0.9281 $$

第八次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(8)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(7)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(7)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.2851\ 0.4978\ 0.8197 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.2851\ 0.4978\ 0.8197 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.2760\ 0.4815\ 0.8315 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(8)}=\frac{x_1^{(8)}}{x_1^{(7)}}=\frac{0.2760}{0.2851}=0.9673 $$

第九次迭代：$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}^{(9)}&=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(8)}/||\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}^{(8)}||\ &=\begin{bmatrix} 7&3&-2\ 3&4&-1\ -2&-1&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.2760\ 0.4815\ 0.8315 \end{bmatrix}/\left||\begin{bmatrix} 0.2760\ 0.4815\ 0.8315 \end{bmatrix}\right||\ &=\begin{bmatrix} 0.2725\ 0.4755\ 0.8379 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

计算特征值：$$ \lambda^{(9)}=\frac{x_1^{(9)}}{x_1^{(8)}}=\frac{0.2725}{0.2760}=0.9873 $$

经过9次迭代，特征值已经稳定到3位小数，主特征值为0.987，对应的特征向量为[0.2725,0.4755,0.8379]。