已知函数 f(x)=1/(x^2-6x+10)，求 f(x)+f(x-2)+f(x-4)+...+f(x-2018) 的值域

已知函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$，求 $f(x)+f(x-2)+f(x-4)+\cdots+f(x-2018)$ 的值域。

解析：设 $g(x)=f(x)+f(x-2)+f(x-4)+\cdots+f(x-2018)$，则有

\begin{align*} g(x)&=f(x)+f(x-2)+f(x-4)+\cdots+f(x-2018)
&=f(x-2)+f(x-4)+\cdots+f(x-2018)+f(x-2)+f(x-4)+\cdots+f(x-2018)+f(x)
&=g(x-2)+g(x-4)+f(x) \end{align*}

又因为 $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}=\frac{1}{(x-3)^2+1}$，所以 $f(x)>0$，即 $g(x)>0$。

又因为 $g(x)=g(x-2)+g(x-4)+f(x)$，所以 $g(x)$ 是一个奇函数，即 $g(x)=-g(-x)$。

综上所述，$g(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}^+$，即正实数集合。

更正： 感谢指出，确实有错误。在计算 $g(x)$ 的递推式时，应该是 $g(x)=f(x)+g(x-2)+g(x-4)+\cdots+g(x-2018)$。此时仍然可以得到 $g(x)$ 是一个奇函数且值域为正实数集合。