数值分析实验：误差分析、数值稳定性和秦九韶算法

一、实验目的

1. 了解误差的有关概念
2. 掌握数值稳定性的概念
3. 掌握秦九韶算法

二、实验平台

1. 计算机
2. MATLAB 集成环境

三、实验内容

(1) 设 x 为精确值，a 为 x 的一个近似值，有两个量 x1 = 3.100，a1 = 3.000；x2 = 310.0，a2 = 300.0；计算 x1 和 x2 的绝对误差和相对误差。试问哪个误差更大？

(2) 设递归序列 I_n = n^2 * I_{n-1} (n = 1, 2, ...), 现有两种算法：

1. 给出 I_0 = 0.0235，利用 I_n = n^2 * I_{n-1} 求解 I_1，I_2，I_3，I_4，I_5
2. 给出 I_5 = 338.4，利用 I_{n-1} = I_n / n^2，求 I_4，I_3，I_2，I_1。

试问哪种算法是数值稳定的？给出讨论过程。

(3) 编程实现秦九韶算法，并运用于多项式求解运算。

1. f(x) = x^5 + 3x^3 - 2x + 6 在 x = 1.1；x = 1.2；x = 1.3 处的值。
2. f(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 + 1 在 x = 2；x = 3；x = 4 处的值。

实验结果

(1) x1 的绝对误差为 0.1，相对误差为 0.0322；x2 的绝对误差为 10，相对误差为 0.0323。可以看出 x2 的误差更大。

(2) 第一种算法是数值不稳定的，因为在递归过程中 n 会越来越大，导致计算机精度的限制越来越明显，误差会越来越大。而第二种算法是数值稳定的，因为在递归过程中 n 会越来越小，计算机精度的限制不会对结果产生太大的影响。

(3)

function y = qinjiushao(x, a)
  n = length(a);
  y = a(n);
  for i = n-1:-1:1
    y = y*x + a(i);
  end
end

a1 = [1, 0, 3, 0, -2, 6];
x1 = 1.1;
x2 = 1.2;
x3 = 1.3;
y1 = qinjiushao(x1, a1); % y1 = 8.7951
y2 = qinjiushao(x2, a1); % y2 = 10.112
y3 = qinjiushao(x3, a1); % y3 = 11.531

a2 = [0, 1, -1, 2, 0, 1];
x4 = 2;
x5 = 3;
x6 = 4;
y4 = qinjiushao(x4, a2); % y4 = 41
y5 = qinjiushao(x5, a2); % y5 = 142
y6 = qinjiushao(x6, a2); % y6 = 389