余弦定理证明 - 几何公式详解

余弦定理是一个用于计算三角形边长和角度关系的公式，它可以表示为：/n/n$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab//cos C$/n/n其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的三条边长，$C$ 表示夹在 $a$ 和 $b$ 之间的角度。/n/n证明：/n/n我们可以将三角形分成两个直角三角形（如下图所示），其中 $/angle A$ 和 $/angle B$ 是直角，$h$ 为高。/n/n<img src=/'https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/8z0kxyhj.png/' alt=/'余弦定理证明/' width=/'300px/'>/n/n那么，根据三角形的性质，我们可以得到：/n/n$//begin{aligned} //cos C &= //cos(//angle A + //angle B) ////// &= //cos//angle A//cos//angle B - //sin//angle A//sin//angle B ////// &= //frac{b}{c} //cdot //frac{a}{c} - //frac{h}{c} //cdot //frac{h}{a} ////// &= //frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} //end{aligned}$/n/n移项即可得到余弦定理的公式：/n/n$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab//cos C$/n/n证毕。