算术基本定理证明：a整除c，b整除c，且ab互素，则ab整除c

根据算术基本定理，任何一个大于1的正整数都可以唯一地分解成质数的乘积形式。因此，假设$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$，$b=q_1^{b_1}q_2^{b_2}...q_m^{b_m}$，$c=r_1^{c_1}r_2^{c_2}...r_k^{c_k}$，其中$p_i,q_i,r_i$均为质数，$a_i,b_i,c_i$均为正整数。/n/n由于$a$能整除$c$，因此对于任意的$i/in[1,k]$，都存在$j/in[1,n]$或$j/in[1,m]$，使得$r_i=p_j$，且$c_i/leq/min(a_j,b_j)$。由于$a$和$b$互素，因此对于任意的$i/in[1,n]$和$j/in[1,m]$，如果$p_i=q_j$，则必有$a_i=0$或$b_j=0$。/n/n现在我们考虑证明$ab$能整除$c$。根据上述分解式，我们有：/n/n$$ab=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}q_1^{b_1}q_2^{b_2}...q_m^{b_m}$$/n/n因此，对于任意的$i/in[1,k]$，都存在$l/in[1,n+m]$，使得$r_i=p_l$，且$c_i/leq a_l+b_l$。由于$a_l$和$b_l$互素，因此$c_i/leq a_l$或$c_i/leq b_l$。而由于$a$能整除$c$且$b$能整除$c$，因此对于任意的$i/in[1,k]$，都有$c_i/leq/min(a_l,b_l)$。因此，$ab$能整除$c$，即$ab/mid c$。/n/n综上所述，如果$a$能整除$c$，$b$也能整除$c$，且$ab$互素，则$ab$能整除$c$。