Python 递归算法：将整数序列按 k 分割排序

Python 递归算法：将整数序列按 k 分割排序

给定一个未排序的整数序列 S 和整数 k，如何使用递归算法对 S 的元素重新排序，使得所有小于 k 的元素在所有大于 k 的元素之前？

递归算法：

1. 如果 S 为空，返回空序列。
2. 如果 S 中只有一个元素，返回 S。
3. 如果 S 中有多个元素：
   • 选取一个元素 x，将 S 分成两个子序列：小于等于 x 的元素集合 S1 和大于 x 的元素集合 S2。
   • 对 S1 递归调用排序算法，得到排序后的子序列 S1'。
   • 对 S2 递归调用排序算法，得到排序后的子序列 S2'。
   • 返回 S1' + [x] + S2'。

实现代码：

def sort_by_k(S, k):
    if not S:
        return []
    elif len(S) == 1:
        return S
    else:
        x = S[0]
        S1 = [e for e in S if e <= k]
        S2 = [e for e in S if e > k]
        S1_sorted = sort_by_k(S1, k)
        S2_sorted = sort_by_k(S2, k)
        return S1_sorted + [x] + S2_sorted

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 为序列 S 的长度。因为每次递归都会将序列分成两部分，所以递归深度为 O(logn)，每层递归的时间复杂度为 O(n)，所以总时间复杂度为 O(nlogn)。