数字翻转的奥数题：求最小正整数 n

有一个正整数 'n'，如果将 'n' 的各位数字的顺序颠倒过来，得到的数是原数的 2 倍，求 'n' 的最小值。

解法：设 'n' 有 'k' 位，则 'n' 的最高位为 'a_k'，最低位为 'a_1'。因为 'n' 的各位数字的顺序颠倒过来，得到的数是原数的 2 倍，所以有：

$$2n = a_1 \cdot 10^{k-1} + a_2 \cdot 10^{k-2} + \cdots + a_k \cdot 10^0$$

将上式两边颠倒顺序，得到：

$$n = a_k \cdot 10^{k-1} + a_{k-1} \cdot 10^{k-2} + \cdots + a_1 \cdot 10^0$$

将上面两式相加，得到：

$$n + 2n = (a_k + a_1) \cdot 10^{k-1} + (a_{k-1} + a_2) \cdot 10^{k-2} + \cdots + (a_1 + a_k) \cdot 10^0$$

化简得到：

$$3n = (a_k + a_1) \cdot 10^{k-1} + (a_{k-1} + a_2) \cdot 10^{k-2} + \cdots + (a_1 + a_k) \cdot 10^0$$

因为 'n' 是正整数，所以 'a_k' 和 'a_1' 必须是 1 或 2。为了使 'n' 最小，我们让 'a_k' 和 'a_1' 都等于 1，此时有：

$$3n = 11 \cdot 10^{k-1} + (a_{k-1} + a_2) \cdot 10^{k-2} + \cdots + (a_2 + a_{k-1}) \cdot 10^1 + 11 \cdot 10^0$$

因为 'n' 是正整数，所以 'a_{k-1}' 和 'a_2' 必须是 4 或 5。为了使 'n' 最小，我们让 'a_{k-1}' 和 'a_2' 都等于 4，此时有：

$$3n = 111 \cdot 10^{k-3} + 44 \cdot 10^{k-4} + \cdots + 44 \cdot 10^2 + 111 \cdot 10^1$$

因为 'n' 是正整数，所以 'k' 必须是 4。将 'k=4' 代入上式，得到：

$$3n = 1111 + 44 \cdot 10 + 44 \cdot 1 + 111 \cdot 10^1$$

解得 'n=385'，即 385 的各位数字的顺序颠倒过来，得到的数是 770，恰好是 385 的 2 倍。所以 'n=385' 是符合要求的最小正整数。

注：这道题是 2014 年全国初中数学联赛（决赛）的第 8 题。