两条直线绕直线旋转所得曲面体积最小值问题

(1) 绕直线 'l_1' 旋转所得曲面为旋转抛物面，其方程为：/n/n$$//(x//cos//theta + y//sin//theta//)^2 = 2pz//cos//theta,/quad p=//frac{d}{2//sin//theta}$$/n/n其中 'θ' 是 'l_1' 与 'z' 轴的夹角，'d' 是 'l_1' 与 'l_2' 的距离。/n/n(2) 相距为 'd' 且垂直于 'l_1' 的两平面分别为 'P_1: x//cos//theta + y//sin//theta = //pm //frac{d}{2}'，与旋转抛物面相交得到两条椭圆曲线 'C_1'，'C_2'。我们可以将问题转化为求这两条椭圆曲线绕 'l_1' 旋转所得的立体体积的最小值。/n/n由于绕 'l_1' 旋转所得的曲面具有旋转对称性，因此 'C_1' 和 'C_2' 绕 'l_1' 旋转所得的立体体积相等，即问题转化为求其中一条椭圆曲线绕 'l_1' 旋转所得的立体体积的最小值。/n/n设椭圆曲线 'C: //frac{(x-x_0)^2}{a^2}+//frac{y^2}{b^2}=1'，其中 'x_0//geq //frac{d}{2}'，'a>b'。则椭圆曲线绕 'l_1' 旋转所得的立体体积为：/n/n$$//V = //pi//int_{-b}^b(x-x_0)^2dy = //frac{//pi}{3}a^2b(x_0-//frac{d}{2})$$//n其中 'x_0-//frac{d}{2}=//sqrt{a^2-b^2}'，代入 'a^2+b^2=//frac{d^2}{4}' 得：/n/n$$//V = //frac{//pi}{3}//left(//frac{d}{2}//right)^2//sqrt{d^2-4b^2}$$/n/n令 'f(b)=//sqrt{d^2-4b^2}'，则 'V' 的最小值出现在 'f(b)' 的最大值处。由于 'f(b)' 在 '[0,//frac{d}{2}]' 上单调递增，因此最大值出现在 'b=//frac{d}{4}'，此时 'a=//frac{//sqrt{3}}{4}d'，'V_{//min}=//frac{//pi}{6}d^3'。