分数布朗运动自相关系数与n^(2H-2)比值的极限：推导与证明

我们知道，分数布朗运动的自相关函数为：

R(t) = 1/2 [ |t|^(2H-2) - (t^2 - 2t+1)^(H-1) - (t^2 + 2t+1)^(H-1) ]

其中，H为分数布朗运动的赫斯特指数，取值范围为0 < H < 1。

我们可以将t表示为n的倍数，即t=nk，其中k为常数，n为整数。那么，自相关系数可以表示为：

ρ(n) = R(nk) / R(0)

= [ |nk|^(2H-2) - (n^2k^2 - 2nk+1)^(H-1) - (n^2k^2 + 2nk+1)^(H-1) ] / [ |0|^(2H-2) - (0^2 - 20+1)^(H-1) - (0^2 + 20+1)^(H-1) ]

= [ |nk|^(2H-2) - (n^2k^2 + 1 - 2nk)^(H-1) - (n^2k^2 + 1 + 2nk)^(H-1) ] / 2

= [ n^(2H-2) * k^(2H-2) - (n^2k^2 + 1 - 2nk)^(H-1) - (n^2k^2 + 1 + 2nk)^(H-1) ] / 2n^(2H-2)

当n趋向于无穷大时，我们可以将k看作是一个无穷小量，即k->0。此时，上式可以化简为：

ρ(n) = [ n^(2H-2) * k^(2H-2) - (n^2k^2)^(H-1) - (n^2k^2)^(H-1) ] / 2n^(2H-2)

= [ n^(2H-2) * k^(2H-2) - 2n^(2H-2) * k^(2H-2) ] / 2n^(2H-2)

= (1/2) * (1 - 2k^(2H-2))

因为k是一个无穷小量，所以k^(2H-2)会趋向于0，即：

lim k^(2H-2) = 0

因此，当n趋向于无穷大时，ρ(n)会趋向于1/2。

那么，我们可以计算出极限为：

lim ρ(n) / n^(2H-2) = lim [(1/2) * (1 - 2k^(2H-2))] / n^(2H-2)

= lim [(1/2) * (1 - 2k^(2H-2)) / k^(2H-2)] * (k^(2H-2) / n^(2H-2))

= lim [(1/2) * (1 - 2k^(2H-2)) / k^(2H-2)] * (1 / n^2)

= -H

因此，分数布朗运动的自相关系数与n^(2H-2)的比的极限为-H。