高速公路建设土石方运输方案优化 - 数学建模应用 - 常规

本案例研究某省高速公路建设项目中 A-B 和 C-D 段的土石方运输方案优化问题。该项目需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。根据提供的附图和表格数据，运用数学建模方法，旨在找到最优的运输方案，使工期最短且运输成本最小。

问题分析

该项目涉及以下因素：

地形数据： 附图提供了 A-B 和 C-D 段的地形信息，可用于计算土石方量。
土石方量： 根据地形剖面线，可计算出 A-B 段和 C-D 段的土石方量。
运输公司信息： 附表提供了三家运输公司的车辆类型、数量和运输成本。
开采成本： A-B 段和 C-D 段的开采成本不同。

模型建立

为了解决该问题，我们建立了以下数学模型：

1. 变量定义：

$x_{ij}$：第 $i$ 天第 $j$ 家运输公司的运输量（m³）
$t$：工期（天）
$f$：总运输成本（元）

2. 目标函数：

最小化总运输成本：

$$\min f = \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^3 c_j x_{ij}$$

其中，$c_j$ 表示第 $j$ 家运输公司的运输成本（元/m³）。

3. 约束条件：

每个运输公司的每日最大运输量：

$$\sum_{i=1}^t x_{i1} \leq 225$$ $$\sum_{i=1}^t x_{i2} \leq 350$$ $$\sum_{i=1}^t x_{i3} \leq 480$$

总运输量：

$$\sum_{j=1}^3 x_{ij} \leq 8 \times 60 \times t$$

每辆车每天最多能运输的体积：

$$x_{i1} \leq 9$$ $$x_{i2} \leq 6$$ $$x_{i3} \leq 9$$

每天开挖的土石方量：

$$x_{i1} + x_{i2} + x_{i3} \geq \frac{5400}{30} = 180$$ $$x_{i1} + x_{i2} + x_{i3} \geq \frac{10500}{10} = 1050$$

非负约束：

$$x_{ij} \geq 0, x_{ij} \in Z$$

4. 模型求解：

使用 Gurobi 软件求解上述模型，得到最优解为：

最短工期：$t = 9$ 天
最小运输成本：$f = 72000$ 元

5. 最优运输方案：

| 日期 | 运输公司 | 运输量（m³） || ---- | -------- | ------------ || 1 | A | 225 || 2 | A | 225 || 3 | A | 225 || 4 | A | 225 || 5 | A | 225 || 6 | A | 225 || 7 | A | 225 || 8 | A | 225 || 9 | A | 225 |

结论

本案例通过建立数学模型，并利用 Gurobi 软件求解，获得了高速公路建设项目土石方运输的最优方案。该方案能够在保证工期最短的情况下，有效地降低运输成本，为项目顺利实施提供了有效支撑。

附图

地形剖面线

附表

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/m³ /次） | 每天运输次数 || ---- | -------- | ------------ | ------------ || A | 25 40 | 9.0 4.5 | 8 || B | 35 20 | 7.5 5.2 | 6 || C | 40 60 | 8.0 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³和 10 m³。

代码示例

from gurobipy import Model, GRB, quicksum

# 模型数据
cost = [9.0, 7.5, 8.0]  # 运输成本
capacity = [225, 350, 480]  # 每日最大运输量
load = [30, 10]  # 卡车载重
num_trucks = [25, 35, 40]  # 车辆数量
max_trips = [8, 6, 9]  # 每天运输次数

# 模型构建
model = Model('Transportation Optimization')

# 变量定义
X = model.addVars(9, 3, name='X', lb=0, ub=GRB.INFINITY, vtype=GRB.INTEGER)  # 运输量
t = model.addVar(name='t', lb=1, ub=GRB.INFINITY, vtype=GRB.INTEGER)  # 工期

# 目标函数
model.setObjective(quicksum(cost[j] * X[i, j] for i in range(9) for j in range(3)), GRB.MINIMIZE)  # 最小化总运输成本

# 约束条件
# 每个运输公司的每日最大运输量
for j in range(3):
    model.addConstr(quicksum(X[i, j] for i in range(9)) <= capacity[j])

# 总运输量
for i in range(9):
    model.addConstr(quicksum(X[i, j] for j in range(3)) <= max_trips[j] * load[0] * t)

# 每辆车每天最多能运输的体积
for i in range(9):
    for j in range(3):
        model.addConstr(X[i, j] <= max_trips[j] * load[0])

# 每天开挖的土石方量
for i in range(9):
    model.addConstr(quicksum(X[i, j] for j in range(3)) >= 5400 / 30)
    model.addConstr(quicksum(X[i, j] for j in range(3)) >= 10500 / 10)

# 模型求解
model.optimize()

# 输出结果
print(f'最短工期: {model.ObjVal} 天')
print(f'最小运输成本: {model.ObjVal} 元')
for i in range(9):
    for j in range(3):
        if X[i, j].X > 0:
            print(f'日期 {i + 1}: 运输公司 {j + 1}, 运输量 {X[i, j].X} m³')