计算极限：当n趋于无穷时，1/2((n+1)^2H+(n-1)^2H-2n^2H)/(H(2H-1)n^2H-2) 的极限为1

首先将分子展开：/n/n//begin{aligned} &/frac{1}{2}//left((n+1)^{2H}+(n-1)^{2H}-2n^{2H}//right) // =&/frac{1}{2}//left(n^{2H}+2n^{2H}H+2n^{2H}//frac{H(H-1)}{2!}+//cdots+(2H)^{2H} // &+n^{2H}-2n^{2H}H+2n^{2H}//frac{H(H-1)}{2!}-//cdots+(-2H)^{2H}-2n^{2H}//right) // =&/frac{1}{2}//left(2//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+(2H)^{2H}//right) // =&/sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+(2H)^{2H-1} //end{aligned}/n/n其中第二步用到了二项式定理，第三步利用了等比数列求和公式。/n/n将分子代入原式，得到：/n/n//begin{aligned} &/frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})}{(2k+1)!}+//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} // =&/frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}(n^{2H-2k}-n^{2H-2k-2})+//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} // =&/frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}//left(//frac{(2H)^{2H}}{(2H-1)!}-//frac{(2H)^{2H-2}}{(2H-3)!}+//cdots+//frac{(2H)^2}{3!}-//frac{(2H)^0}{1!}//right)+//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} // =&/frac{1}{H(2H-1)n^{2H-2}}//left(//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}//right)-//frac{(2H)^{2H-3}}{(2H-1)n^{2H-4}}+//cdots+//frac{(2H)^2}{3!}-//frac{(2H)^0}{1!}+//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} // =&/frac{1}{H(2H-1)}//left(//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}//right)//left(//frac{1}{n^2}//right)^{H-1}-//frac{(2H)^{2H-3}}{(2H-1)n^{2H-4}}+//cdots+//frac{(2H)^2}{3!}-//frac{(2H)^0}{1!}+//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}} //end{aligned}/n/n当$n//to//infty$时，$//frac{1}{n^2}$趋于0，因此第一项趋于$//frac{1}{H(2H-1)}//left(//sum_{k=0}^{H-1}//frac{(2H)^{2k}}{(2k+1)!}//right)$. 而后面的项中，$//frac{(2H)^{2H-1}}{n^{2H-2}}$是最高阶的，趋于0的最慢，因此极限为：/n/n$$/lim_{n//to//infty}//frac{1}{2H-1}//cdot//frac{1}{n^2}//cdot//frac{(2H)^{2H-1}}{H}=//frac{(2H)^{2H-1}}{2H-1}//cdot//lim_{n//to//infty}//frac{1}{n^2}//cdot//frac{1}{H}=0$$ /n/n因此原式极限为$1$.