矩形内菱形周长计算：几何证明与公式推导

首先，根据题目给出的条件，可以发现四边形EFGH是一个菱形，因为它的四条边都相等。设EF=FG=GH=HE=x，则AE=HD=a-x，BE=FC=b-x。

接下来，考虑如何求出x。根据正弦定理，在三角形AHE和BFE中，有：

$ \frac{EH}{\sin\angle EAH}=\frac{AE}{\sin\angle HAE} $（1）

$ \frac{BF}{\sin\angle FEB}=\frac{BE}{\sin\angle EFB} $（2）

由于∠HEA=∠FEB，∠EFB=∠GFC，∠FGC=∠HGD，∠GHD=∠EHA，因此可以得到：

$ \frac{\sin\angle HAE}{\sin\angle EFB}=\frac{\sin\angle GFC}{\sin\angle GHD}=\frac{\sin\angle EAH}{\sin\angle FEB} $

代入式（1）和式（2）中，得到：

$ \frac{EH}{AE}=\frac{BF}{BE} $

即

$ \frac{x}{a-x}=\frac{b-x}{x} $

解得

$ x=\frac{ab}{2a+2b-4x} $

整理得

$ x=\frac{ab}{2a+2b} $

因此，四边形EFGH的周长为4x，即

$ 4x=\frac{4ab}{2a+2b} $

$=\frac{2ab}{a+b} $

因此，四边形EFGH的周长为

$ \boxed{\frac{2ab}{a+b}} $