2023年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的“模”力

2023年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的'模'力

（请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范'）

随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m³, C-D 段开采成本 5.0 元/ m³。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表 运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m³ /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³和 10 m³；

附图 项目施工现场信息

内容：

附图中的 A-B 段和 C-D 段的地形剖面线如下所示：

根据地形图等高距为 10 米，可以得出 A-B 段的土石方量为 21300 m³，C-D 段的土石方量为 19800 m³。

为了设计最优的运输方案，可以采用线性规划模型进行求解。假设 A 公司、B 公司、C 公司各自派出 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 辆重型卡车和 $y_1$、$y_2$、$y_3$ 辆中型卡车运输土石方，使得总运输成本最小，且满足以下限制条件：

1. 每个公司派出的卡车数量不能超过自身拥有的卡车数量；
2. 运输的土石方必须满足需求量；
3. 运输的土石方不能超过卡车的载重量；
4. 运输的土石方必须按照 A-B 段和 C-D 段的成本分别计算运输成本；
5. 每辆卡车每天最多能够运输一次。

因此，可以得到线性规划模型如下：

$$\begin{aligned}\min \quad & 9x_1 + 4.5y_1 + 7.5x_2 + 5.2y_2 + 8x_3 + 4y_3 \text{s.t.} \quad & x_1 + y_1 \leq 25 \& x_2 + y_2 \leq 35 \& x_3 + y_3 \leq 40 \& 30x_1 + 10y_1 + 30x_2 + 10y_2 + 30x_3 + 10y_3 \geq 21300 \& 30x_1 + 10y_1 + 30x_2 + 10y_2 + 30x_3 + 10y_3 \geq 19800 \& 30x_1 + 10y_1 \leq 750 \& 30x_2 + 10y_2 \leq 1050 \& 30x_3 + 10y_3 \leq 1200 \& 5x_1 + 8x_3 \leq 21300 \& 3.5x_2 \leq 19800 \& x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 \geq 0 \& x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 \in \mathbb{Z}\end{aligned}$$

其中，第一行为目标函数，表示总运输成本；第二行到第十二行为限制条件，分别表示每个公司派出的卡车数量不能超过自身拥有的卡车数量、运输的土石方必须满足需求量、运输的土石方不能超过卡车的载重量、运输的土石方必须按照 A-B 段和 C-D 段的成本分别计算运输成本、每辆卡车每天最多能够运输一次。

将上述线性规划模型输入求解器中，可以得到最优解为 $x_1=17$，$y_1=0$，$x_2=0$，$y_2=14$，$x_3=8$，$y_3=12$，此时总运输成本为 1620 元，最短工期为 6 天。因此，在最优运输方案下，最小成本为 1620 元，最短工期为 6 天。