河北工程大学数学建模竞赛题目：高速公路沟槽开挖运输方案设计

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目：高速公路沟槽开挖运输方案设计

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移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表 运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3 /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；

附图 项目施工现场信息

[图片] A B C D

内容：

(1) 地形剖面线图如下：

[图片] 注：图中横坐标为距离（单位：米），纵坐标为高度（单位：米）。

(2) 计算土石方量：

A-B 段土石方量 = ∫AB(H-10)dx - ∫AB(H-40)dx = (H_A-H_B)×L_AB×(10+40)/2 = (80-20)×500×25 = 500000m3

C-D 段土石方量 = ∫CD(H-20)dx - ∫CD(H-70)dx = (H_C-H_D)×L_CD×(20+70)/2 = (60-10)×500×45 = 1125000m3

(3) 最优运输方案：

首先计算各运输公司每天可运输的最大土石方量：

A 公司：25×(30×8+10×9) = 6750m3 B 公司：35×(30×6+10×5.2) = 5810m3 C 公司：40×(30×9+10×4) = 10800m3

由于 A 公司和 C 公司的运输成本不同，因此需要分别考虑。

对于 A 公司，每天最多可以运输 6750m3 的土石方量，因此需要 74 天才能完成 A-B 段的开采和运输。总运输成本为：

25×(30×8×3.5+10×9×3.5)×74 = 434250元

对于 C 公司，每天最多可以运输 10800m3 的土石方量，因此需要 105 天才能完成 C-D 段的开采和运输。总运输成本为：

40×(30×9×5.0+10×4×5.0)×105 = 756000元

对于 B 公司，每天最多可以运输 5810m3 的土石方量，不足以单独完成任务。因此需要与 A 公司和 C 公司合作，共同完成任务。

设 B 公司每天运输 x 次，则 A 公司和 C 公司每天分别运输 (6750-x×5810/2) m3 和 (10800-x×5810/2) m3。

为了使工期最短，三家公司每天的总运输量应该相等，即：

6750-x×5810/2 = x×(30×6+10×5.2)+(10800-x×5810/2)×(30×9+10×4)

化简得：

x = 6.08

因此，B 公司每天应该运输 6 次。整个工程需要的总天数为：

max(74, 105, (500000+1125000)/(5810×6)) = 105

最终的最优运输方案如下：

A 公司：每天 8 次，共运输 54000m3，总运输成本为 313200 元。 B 公司：每天 6 次，共运输 34860m3，总运输成本为 207900 元。 C 公司：每天 9 次，共运输 54000m3，总运输成本为 324000 元。

最短工期为 105 天，最小成本为 845100 元。