线性规划问题求解：标准形式转化及迭代步骤

首先将原始问题转化为标准形式：

目标函数：max z = 10x1 + 15x2 + 12x3 - Mx7

约束条件：

5x1 + 3x2 + x3 + x4 = 9

-5x1 + 6x2 + 15x3 + x5 = 15

2x1 + x2 + x3 - x6 + x7 = 5

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ≥ 0

引入松弛变量，得到以下初始表格：

基变量 | x4 | x5 | x6 | x7 | ---------|-----|-----|----|----| z | 0 | 0 | 0 | -M | ---------|-----|-----|----|----| x1 | 5 | -5 | 2 | 0 | x2 | 3 | 6 | 1 | 0 | x3 | 1 | 15 | 1 | 0 | ---------|-----|-----|----|----| | 9 | 15 | 5 | 0 |

首先选取 x4 为入基变量，x1 为出基变量，计算出各个变量对应的系数：

x1：9/5

x2：3/5

x3：1/5

x7：0

x5：0

x6：0

更新表格：

基变量 | x4 | x5 | x6 | x7 | ---------|-----|-----|----|----| z | 0 | 0 | 0 | -M | ---------|-----|-----|----|----| x1 | 1 | -1 | 2/5| 0 | x2 | 0 | 9/5| -1/5| 0 | x3 | 0 | 16/5| -3/5| 0 | ---------|-----|-----|----|----| | 9 | 15 | 5 | 0 |

此时仍有负的非基变量系数，继续进行迭代。

选取 x2 为入基变量，x2 为出基变量，计算出各个变量对应的系数：

x1：3/7

x4：5/7

x3：1/7

x7：0

x5：0

x6：9/7

更新表格：

基变量 | x4 | x5 | x6 | x7 | ---------|-----|-----|------|----| z | 0 | 0 | 135/7| -M | ---------|-----|-----|------|----| x1 | 1 | 0 | 11/7| 0 | x2 | 0 | 1 | -1/9 | 0 | x3 | 0 | 0 | 10/9| 0 | ---------|-----|-----|------|----| | 6 | 0 | 40/9| 0 |

此时所有非基变量系数均为非负数，最优解为 z = 135/7，对应的解为 x1 = 11/7，x2 = 1/9，x3 = 10/9，x4 = 0，x5 = 0，x6 = 0，x7 = 0。

因为 M 的取值没有给定，所以最终的最优解可能会受到 M 的影响。