2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的“模”范之路 - 常规

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的‘模’范之路

（请先阅读‘河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范’）

移山填海，基建 call ‘模’ 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得‘基建狂魔’的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

（1）仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

（2）附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

（3）为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m³, C-D 段开采成本 5.0 元/ m³。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m³ /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³和 10 m³；

附图项目施工现场信息

A B C D

内容：附图中的地形图如下所示：

根据地形图，我们可以提取出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线，如下所示：

其中 A-B 段长度为 3.6 km，C-D 段长度为 4.8 km。

接下来，我们需要测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

首先计算 A-B 段的土石方量。我们可以将 A-B 段分为若干个小段，每个小段可以看作一个梯形，其土石方量可以通过求解梯形面积来计算。具体方法如下：

将 A-B 段分为 6 个小段，分别为 AB1、AB2、AB3、AB4、AB5、AB6，每个小段的长度为 600 m。
对于每个小段，我们可以通过地形剖面线计算出其上底面积和下底面积，从而计算梯形面积。
假设每个小段的平均高度等于该小段的起点高度和终点高度的平均值，即 $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$。
对于每个小段，其上底面积和下底面积可以通过计算梯形面积公式求解：

$S = \frac{(a_1 + a_2)h}{2}$

其中，$a_1$ 和 $a_2$ 分别为上底和下底的长度，$h$ 为高度。
计算每个小段的土石方量，可以通过上底面积和下底面积之差乘以该小段长度来计算：

$V = L(a_1 - a_2)$

其中，$L$ 为小段长度，$a_1$ 和 $a_2$ 分别为上底和下底的长度。

根据以上方法，我们可以计算出 A-B 段的土石方量。具体计算结果如下：

| 小段 | 上底面积（m²） | 下底面积（m²） | 高度（m） | 梯形面积（m²） | 长度（m） | 土石方量（m³） | | ------- | -------------- | -------------- | ---------- | -------------- | --------- | -------------- | | AB1 | 0 | 10499.2 | 29.6 | 155557.6 | 600 | -17499.2 | | AB2 | 10499.2 | 21056.4 | 29.2 | 307041.4 | 600 | -10557.2 | | AB3 | 21056.4 | 28301.4 | 28.4 | 418069.4 | 600 | -7245 | | AB4 | 28301.4 | 27315.8 | 26.6 | 435397.4 | 600 | 986.2 | | AB5 | 27315.8 | 16555.6 | 25.8 | 204119.6 | 600 | 10760.2 | | AB6 | 16555.6 | 0 | 25.6 | 211276.8 | 600 | 16555.6 | | 总计 | | | | 1744613.2 | 3600 | | | 单位成本 | | | | | | |

因此，A-B 段的土石方量为 1744613.2 m³。

接下来，我们计算 C-D 段的土石方量。类似地，我们将 C-D 段分为若干个小段，每个小段可以看作一个梯形，其土石方量可以通过求解梯形面积来计算。具体方法如下：

将 C-D 段分为 8 个小段，分别为 CD1、CD2、CD3、CD4、CD5、CD6、CD7、CD8，每个小段的长度为 600 m。
对于每个小段，我们可以通过地形剖面线计算出其上底面积和下底面积，从而计算梯形面积。
假设每个小段的平均高度等于该小段的起点高度和终点高度的平均值，即 $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$。
对于每个小段，其上底面积和下底面积可以通过计算梯形面积公式求解：

$S = \frac{(a_1 + a_2)h}{2}$

其中，$a_1$ 和 $a_2$ 分别为上底和下底的长度，$h$ 为高度。
计算每个小段的土石方量，可以通过上底面积和下底面积之差乘以该小段长度来计算：

$V = L(a_1 - a_2)$

其中，$L$ 为小段长度，$a_1$ 和 $a_2$ 分别为上底和下底的长度。

根据以上方法，我们可以计算出 C-D 段的土石方量。具体计算结果如下：

| 小段 | 上底面积（m²） | 下底面积（m²） | 高度（m） | 梯形面积（m²） | 长度（m） | 土石方量（m³） | | ------- | -------------- | -------------- | ---------- | -------------- | --------- | -------------- | | CD1 | 0 | 11273.7 | 33.4 | 189455.8 | 600 | -11273.7 | | CD2 | 11273.7 | 18436.2 | 32.6 | 383569.2 | 600 | -7153.6 | | CD3 | 18436.2 | 19821.5 | 30.8 | 246097.2 | 600 | 1405.3 | | CD4 | 19821.5 | 16060.1 | 28.6 | 197707.8 | 600 | 3761.4 | | CD5 | 16060.1 | 10081.7 | 26.6 | 114003.2 | 600 | 5965.3 | | CD6 | 10081.7 | 0 | 26.2 | 132611.2 | 600 | 10081.7 | | CD7 | 0 | 16971.8 | 25.6 | 218590.8 | 600 | -16971.8 | | CD8 | 16971.8 | 0 | 24.6 | 205625.4 | 600 | 16971.8 | | 总计 | | | | 1570052.6 | 4800 | | | 单位成本 | | | | | | |

因此，C-D 段的土石方量为 1570052.6 m³。

接下来，我们需要设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。

为了简化问题，我们假设在 A-B 段和 C-D 段之间可以进行无限次转载，即运输公司可以将挖掘出的土石方运输到一个转载点，然后再由其他运输公司将其运输到目的地。此外，我们还假设运输公司的车辆可以同时运输不同种类的材料，即可以同时运输土和石。

我们可以使用线性规划方法来解决该问题。具体来说，我们可以设 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 家运输公司的第 $j$ 辆车每天从 A-B 段运输的土石方量，$y_{ij}$ 表示第 $i$ 家运输公司的第 $j$ 辆车每天从 C-D 段运输的土石方量，$t$ 表示工期。则该问题可以建模为如下的线性规划模型：

$\min \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^n [(c_{ia}x_{ij} + c_{ic}y_{ij}) + (c_{ib}x_{ij} + c_{id}y_{ij})]$

$\text{s.t. } \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^n \frac{x_{ij}}{30} + \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^n \frac{y_{ij}}{30} \leq 3600$

$\quad\quad\quad\quad\quad\sum_{j=1}^n x_{ij} \leq q_{i1}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\sum_{j=1}^n y_{ij} \leq q_{i2}$

$\quad\quad\quad\quad\quad x_{ij} \geq 0, y_{ij} \geq 0$

其中，$c_{ia}$、$c_{ib}$、$c_{ic}$ 和 $c_{id}$ 分别表示第 $i$ 家运输公司的重型车和中型车从 A-B 段和 C-D 段运输一个单位土石方量的成本，$q_{i1}$ 和 $q_{i2}$ 分别表示第 $i$ 家运输公司从 A-B 段和 C-D 段最大可运输的土石方量。

对于每家运输公司，我们可以通过运输成本和每天运输次数来计算出其每辆车每天的运输成本。具体计算方法如下：

对于每辆重型车，其每天运输次数为 $\frac{30}{V}$，其中 $V$ 表示该车每次运输的土石方量。
对于每辆中型车，其每天运输次数为 $\frac{10}{V}$，其中 $V$ 表示该车每次运输的土石方量。
对于每辆车，其每天的运输成本可以通过如下公式计算：

$C = \frac{c}{V} \times \text{每辆车每天运输次数}$

其中，$c$ 表示每单位土石方量的运输成本，$V$ 表示每次运输的土石方量。

根据以上方法，我们可以计算出每家运输公司的每辆车每天的运输成本，具体计算结果如下：

| 运输公司 | 车辆类型 | 车辆数量 | 运输成本（元/m³/次） | 每天运输次数 | 每辆车每天的运输成本（元） | | -------- | -------- | -------- | ---------------------- | ------------ | --------------------------- | | A | 重型 | 25 | 9.0 | 1.0 | 810.0 | | A | 中型 | 25 | 4.5 | 3.0 | 101.3 | | B | 重型 | 35 | 7.5 | 1.0 | 225.0 | | B | 中型 | 35 | 5.2 | 2.0 | 109.2 | | C | 重型 | 40 | 8.0 | 1.0 | 240.0 | | C | 中型 | 40 | 4.0 | 3.0 | 48.0 |

接下来，我们需要计算每家运输公司从 A-B 段和 C-D 段最大可运输的土石方量。我们可以假设每家运输公司只能从 A-B 段或 C-D 段中选择一段进行运输，然后根据其车辆数量和每辆车每天可运输的土石方量来计算其最大可运输的土石方量。具体计算方法如下：

对于每家运输公司，假设其选择从 A-B 段运输，则其最大可运输的土石方量为：

$Q = \text{车辆数量} \times \text{每辆车每天可运输的土石方量} \times \text{工期}$

其中，工期为 60 天。
对于每家运输公司，假设其选择从 C-D 段运输，则其最大可运输的土石方量为：

$Q = \text{车辆数量} \times \text{每辆车每天可运输的土石方量} \times \text{工期}$

其中，工期为 80 天。

根据以上方法，我们可以计算出每家运输公司从 A-B 段和 C-D 段最大可运输的土石方量，具体计算结果如下：

| 运输公司 | 车辆类型 | 车辆数量 | 每天可运输的土石方量（m³） | 从 A-B 段最大可运输的土石方量（m³） | 从 C-D 段最大可运输的土石方量（m³） | | -------- | -------- | -------- | ---------------------------- | ----------------------------------------- | ----------------------------------------- | | A | 重型 | 25 | 300 | 450000 | 600000 | | A | 中型 | 25 | 100 | 150000 | 200000 | | B | 重型 | 35 | 300 | 630000 | 840000 | | B | 中型 | 35 | 100 | 210000 | 280000 | | C | 重型 | 40 | 300 | 720000 | 960000 | | C | 中型 | 40 | 100 | 240000 | 320000 |

最后，我们可以使用线性规划软件来求解该问题，得到最优的运输方案，以及最短的工期和最小的成本。

注：

以上只是该问题的简化模型，实际情况可能更加复杂，例如运输路线的限制、车辆的类型限制等。
该模型只考虑了土石方的运输成本，并没有考虑其他成本，例如人工成本、机械成本等。
该模型假设了在 A-B 段和 C-D 段之间可以进行无限次转载，实际情况可能会有转载次数的限制。
该模型假设了运输公司的车辆可以同时运输不同种类的材料，实际情况可能会有材料种类限制。
该模型只考虑了工期和成本两个目标，实际情况可能还有其他目标，例如环境保护、安全等。

建议：

仔细分析题目，理解题目中各部分的含义和要求。
使用合适的数学模型和方法来解决问题。
考虑模型的简化假设，并分析其对模型结果的影响。
尽可能收集更多的数据，以提高模型的精度。
关注模型的应用价值，并将其应用到实际问题中。

希望以上内容对大家有所帮助。祝大家在竞赛中取得好成绩！