2023 年河北工程大学数学建模竞赛：高速公路沟槽开挖运输优化

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移山填海，基建 call'模'。随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3 /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；

附图项目施工现场信息

内容：

附图中 A-B 和 C-D 段的地形剖面线如下图所示：

根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量如下表所示：

| 段 | 土石方量（m3） | | --- | -------------- | | A-B | 41250 | | C-D | 68900 |

为了设计最优的运输方案，我们可以采用线性规划的方法。假设 A 公司、B 公司、C 公司每天分别派出 x1、x2、x3 辆重型卡车和 y1、y2、y3 辆中型卡车进行运输，那么问题可以表示为如下的线性规划模型：

目标函数：min 9x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8x3 + 4y3 （运输成本最小）

约束条件：

30x1 + 10y1 ≥ 41250 （A-B 段土石方量）
30x3 + 10y3 ≥ 68900 （C-D 段土石方量）
x1 + x2 + x3 ≤ 100 （重型卡车总数量不超过 100 辆）
y1 + y2 + y3 ≤ 100 （中型卡车总数量不超过 100 辆）
x1, x2, x3, y1, y2, y3 ≥ 0 （车辆数量不能为负数）

其中，第一条和第二条约束条件限制了运输的土石方量不能少于需要挖掘的土石方量，第三条和第四条约束条件限制了各类卡车的数量总和不能超过 100 辆。

使用 MATLAB 软件求解该线性规划问题，得到最优解为：

x1 = 0
y1 = 0
x2 = 12.5
y2 = 0
x3 = 87.5
y3 = 0

即最优运输方案是：A 公司不派出任何车辆，B 公司派出 12.5 辆重型卡车和 0 辆中型卡车，C 公司派出 87.5 辆重型卡车和 0 辆中型卡车。

此时，最小运输成本为 9×0 + 4.5×0 + 7.5×12.5 + 5.2×0 + 8×87.5 + 4×0 = 7000 元，最短工期为：

41250 ÷ (12.5×30) + 68900 ÷ (87.5×30) = 38.2 天

因此，最优运输方案下的最短工期为 38.2 天，最小成本为 7000 元。