2023 年河北工程大学数学建模竞赛 - 高速公路土石方运输优化方案设计 - 常规

2023 年河北工程大学数学建模竞赛 - 高速公路土石方运输优化方案设计

（请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范'）

移山填海，基建 call'模'

随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3/次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；

附图项目施工现场信息

内容：

附图中的地形图如下所示：

根据地形图，可以绘制出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线，如下所示：

可以看出，A-B 段的长度为 4.5 km，C-D 段的长度为 3 km。

根据等高距为 10 米，可以测算出 A-B 段的土石方量为 1,717,500 m3，C-D 段的土石方量为 2,700,000 m3。

为了设计最优的运输方案，需要先计算出每个运输公司每天能够运输的最大土石方量。以 A 公司为例，重型卡车每次能够运输 30 m3，中型卡车每次能够运输 10 m3，因此每次运输的总土石方量为 30×9+10×4.5=295.5 m3。每天能够运输的总土石方量为 295.5×8=2364 m3。同样的，可以计算出 B 公司每天能够运输的总土石方量为 2100 m3，C 公司每天能够运输的总土石方量为 7920 m3。

假设 A 公司使用重型卡车运输 x1 次，使用中型卡车运输 y1 次；B 公司使用重型卡车运输 x2 次，使用中型卡车运输 y2 次；C 公司使用重型卡车运输 x3 次，使用中型卡车运输 y3 次。则需要满足以下限制条件：

运输的总土石方量不超过 A 公司、B 公司和 C 公司的最大运输量：

30x1+10y1+30x2+10y2+30x3+10y3 ≤ 2364+2100+7920

A 公司、B 公司和 C 公司使用的重型卡车数量不超过各自的车辆数量：

x1+x2+x3 ≤ 25

x1+x2+x3 ≤ 35

x1+x2+x3 ≤ 40

A 公司、B 公司和 C 公司使用的中型卡车数量不超过各自的车辆数量：

y1+y2+y3 ≤ 25

y1+y2+y3 ≤ 35

y1+y2+y3 ≤ 40

运输的总土石方量等于 A-B 段和 C-D 段的土石方量之和：

30x1+10y1+30x2+10y2+30x3+10y3 = 1,717,500+2,700,000

另外，需要定义目标函数。假设运输成本为 C，工期为 T，则目标函数为：

min C + T

其中，运输成本 C 的计算公式为：

C = 9×30x1+4.5×10y1+7.5×30x2+5.2×10y2+8×30x3+4×10y3

开采成本为 3.5 元/m3 的 A-B 段的土石方量为 1,717,500 m3，开采成本为 5.0 元/m3 的 C-D 段的土石方量为 2,700,000 m3。因此，运输成本的计算公式为：

C = 3.5×(1,717,500/1000000)×(30x1+10y1) + 5.0×(2,700,000/1000000)×(30x3+10y3) + 7.5×(30x2+10y2)

最终的线性规划模型为：

min 3.5×(1,717,500/1000000)×(30x1+10y1) + 5.0×(2,700,000/1000000)×(30x3+10y3) + 7.5×(30x2+10y2) + T

s.t. 30x1+10y1+30x2+10y2+30x3+10y3 ≤ 2364+2100+7920