2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 高速公路沟槽开挖与运输方案优化 - 常规

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 高速公路沟槽开挖与运输方案优化

(请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范')

移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3 /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；

附图项目施工现场信息

项目施工现场信息

题目分析：

本题需要对地形剖面线进行绘制，计算土石方量，设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。需要用到测量、数学模型、优化等知识。

解题思路：

地形剖面线的绘制

根据附图中的地形图，可以绘制出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。需要注意的是，等高距为 10 米，因此需要将地形图上的高程值除以 10，得到实际高程值。

土石方量的计算

根据地形剖面线，可以计算出 A-B 和 C-D 段的土石方量。具体计算方法为：

计算每个剖面线上每个高程点的面积。
将每个高程点的面积乘以相邻两个高程点的高程差，得到该高程段的体积。
将所有高程段的体积加起来，得到总体积。
将总体积乘以土石比，得到土方量和石方量。

运输方案的设计

为了使工期最短且运输成本最小，可以使用线性规划模型求解。具体步骤如下：

确定决策变量。假设 A 公司每天派出 x1 辆重型卡车和 y1 辆中型卡车，B 公司每天派出 x2 辆重型卡车和 y2 辆中型卡车，C 公司每天派出 x3 辆重型卡车和 y3 辆中型卡车，则决策变量为 x1、y1、x2、y2、x3、y3。
确定目标函数。目标函数为最小化总运输成本，即 Minimize Z = 9x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8x3 + 4y3。
确定约束条件。约束条件包括车辆数量限制和运输量限制。具体为：
x1 + y1 ≤ 25（A 公司重型卡车数量限制）
3x1 + y1 ≤ 25×30（A 公司重型卡车运输量限制）
x1 + 3y1 ≤ 25×10（A 公司中型卡车运输量限制）
x2 + y2 ≤ 35（B 公司重型卡车数量限制）
3x2 + y2 ≤ 35×30（B 公司重型卡车运输量限制）
x2 + 3y2 ≤ 35×10（B 公司中型卡车运输量限制）
x3 + y3 ≤ 40（C 公司重型卡车数量限制）
3x3 + y3 ≤ 40×30（C 公司重型卡车运输量限制）
x3 + 3y3 ≤ 40×10（C 公司中型卡车运输量限制）
3.5×土方量A-B×1000 ≤ 9x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8x3 + 4y3（A-B 段运输量限制）
5×土方量C-D×1000 ≤ 9x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8x3 + 4y3（C-D 段运输量限制）
求解线性规划模型，得到最优解。

计算最短工期和最小成本

根据最优解，可以得到最短工期和最小成本。最短工期为土石方量除以每天的总运输量，最小成本为目标函数的最小值。

参考代码：

由于代码实现会涉及到较多的数学计算和线性规划模型的求解，因此在此不提供完整代码。建议采用 Python 的优化库（如 scipy.optimize）或专业的线性规划软件（如 Lingo、CPLEX 等）进行求解。