2023 年河北工程大学数学建模竞赛：高速公路沟槽开挖运输方案优化

2023 年河北工程大学数学建模竞赛：高速公路沟槽开挖运输方案优化/n/n**（请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范'）/n/n移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。/n/n(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。/n(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。/n(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m³, C-D 段开采成本 5.0 元/ m³。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。/n/n附表 运输公司车辆及运输成本信息**/n/n| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m³ /次） | 每天运输次数 | /n|---|---|---|---| /n| | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | /n| A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | /n| B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | /n| C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 | /n/n注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³和 10 m³；/n/n附图 项目施工现场信息/n/n/n/n内容：/n/n附图中的 A-B 和 C-D 段地形剖面线如下：/n/n/n/n根据图中信息测算 A-B 段的土石方量为 130000m³，C-D 段的土石方量为 92000m³。/n/n为了设计最优的运输方案，可以使用线性规划模型。定义决策变量 $x_{ijk}$ 表示第 $i$ 家运输公司的第 $j$ 辆车在第 $k$ 天运输的方量（单位：m³）。则目标是最小化总成本，即/n/n$$/min /sum_{i=1}^3/sum_{j=1}^{n_i}/sum_{k=1}^T c_{ij}x_{ijk}$$ /n/n其中 $n_i$ 表示第 $i$ 家运输公司的车辆数量，$T$ 表示总天数，$c_{ij}$ 表示第 $i$ 家运输公司的第 $j$ 辆车每运输一单位方量需要支付的成本。/n/n由于每天的需求量不同，需要满足每天的供需平衡约束，即/n/n$$/sum_{i=1}^3/sum_{j=1}^{n_i} x_{ijk} = D_k,/quad k=1,/ldots,T$$ /n/n其中 $D_k$ 表示第 $k$ 天总需求量，可以通过每天的开挖量和填方量计算得到。/n/n为了保证运输车辆的数量不超过实际拥有的数量，需要满足以下约束条件：/n/n$$/sum_{k=1}^T x_{ijk} /leq n_i/cdot t_i,/quad i=1,2,3$$ /n/n其中 $t_i$ 表示第 $i$ 家运输公司每辆车每天最多运输的次数。/n/n为了保证运输量不超过车辆的载重量，需要满足以下约束条件：/n/n$$/sum_{i=1}^3/sum_{j=1}^{n_i} x_{ijk} /leq v_j,/quad j=1,/ldots,m$$ /n/n其中 $v_j$ 表示第 $j$ 辆车的载重量，可以根据车辆类型确定。/n/n为了保证工期最短，可以将每个车辆的运输任务尽量平均分配到每天，即/n/n$$/sum_{j=1}^{n_i} x_{ijk} /leq /frac{1}{T}/sum_{k=1}^T D_k,/quad i=1,2,3$$ /n/n最后，所有决策变量均为非负数。/n/n以上模型可以转化为标准形式，使用线性规划软件求解即可。求解结果包括最优解、最短工期和最小成本。