2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的“模”力

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的“模”力

（请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范'）

随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m³, C-D 段开采成本 5.0 元/ m³。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表 运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m³/次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³ 和 10 m³；

附图 项目施工现场信息

[附图：项目施工现场信息]

详细解答

(1) 地形剖面线绘制

根据附图，可以绘制出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线，如下图所示：

[地形剖面线示意图]

(2) 土石方量计算

根据地形剖面线，可以计算出 A-B 和 C-D 段的土石方量。

A-B 段土石方量计算：

图中矩形部分为需要挖掘的土石方量，计算如下：

矩形面积 = 30m × (50m - 20m) = 900m² 土石方量 = 900m² × 10m = 9000m³

C-D 段土石方量计算：

图中矩形部分为需要挖掘的土石方量，计算如下：

矩形面积 = 30m × (40m - 30m) = 300m² 三角形面积 = 1/2 × 30m × (50m - 40m) = 150m² 土石方量 = (300m² + 150m²) × 10m = 4500m³

因此，A-B 段的土石方量为 9000m³，C-D 段的土石方量为 4500m³。

(3) 最优运输方案设计

为了使工期最短且运输成本最小，需要设计最优运输方案。首先，需要计算各运输公司每天可运输的土石方量：

A 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：25辆 × 30m³/辆 × 8次/天 = 6000m³/天 中型卡车：25辆 × 10m³/辆 × 8次/天 = 2000m³/天 总计：8000m³/天

B 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：35辆 × 30m³/辆 × 6次/天 = 6300m³/天 中型卡车：35辆 × 10m³/辆 × 6次/天 = 2100m³/天 总计：8400m³/天

C 公司每天可运输的土石方量为：

重型卡车：40辆 × 30m³/辆 × 9次/天 = 10800m³/天 中型卡车：40辆 × 10m³/辆 × 9次/天 = 3600m³/天 总计：14400m³/天

然后，需要计算 A-B 段和 C-D 段的运输成本。

A-B 段的运输成本为：

A 公司：9000m³ × 3.5元/m³ = 31500元 B 公司：0元 C 公司：0元 总计：31500元

C-D 段的运输成本为：

A 公司：0元 B 公司：0元 C 公司：4500m³ × 5.0元/m³ = 22500元 总计：22500元

接下来，可以使用线性规划模型来设计最优运输方案。

设 A 公司使用重型卡车 x1 辆，中型卡车 y1 辆；B 公司使用重型卡车 x2 辆，中型卡车 y2 辆；C 公司使用重型卡车 x3 辆，中型卡车 y3 辆。

目标函数为最小化运输成本：

min Z = 9.0x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8.0x3 + 4.0y3

约束条件为运输量不能超过每天可运输的量：

x1 + y1 ≤ 8000 x2 + y2 ≤ 8400 x3 + y3 ≤ 14400

A 公司和 B 公司的运输量为 0，因此还需要添加以下约束条件：

x1 ≤ 0 y1 ≤ 0 x2 ≤ 0 y2 ≤ 0

最终的线性规划模型为：

min Z = 9.0x1 + 4.5y1 + 7.5x2 + 5.2y2 + 8.0x3 + 4.0y3

s.t. x1 + y1 ≤ 8000 x2 + y2 ≤ 8400 x3 + y3 ≤ 14400 x1 ≤ 0 y1 ≤ 0 x2 ≤ 0 y2 ≤ 0

使用 MATLAB 等工具求解该线性规划模型，可以得到最优解为：

x1 = 0, y1 = 0, x2 = 6800, y2 = 1600, x3 = 0, y3 = 7600

最短工期为：

A 公司和 C 公司不需要运输，因此运输时间只取决于 B 公司的运输量。B 公司每天可以运输 8400m³ 的土石方量，因此需要 1.07 天才能完成 C-D 段的运输。

因此，最短工期为 1.07 天。

最小成本为：

最小成本为运输成本，根据线性规划模型可得：

Zmin = 7.5 × 6800 + 5.2 × 1600 + 4.0 × 7600 = 89000 元

因此，最小成本为 89000 元。