证明：无理数根的多项式共轭根定理

假设一个有理系数多项式$f(x)$的根是一个无理数$r$，即$f(r)=0$，且$r$是一个实数但不是有理数。/n/n设$r$的共轭为$/bar{r}$，即$/bar{r}$是$r$的实数共轭，但不是$r$本身。由于有理系数多项式的系数都是有理数，因此$r$和$/bar{r}$也都是无理数。/n/n因为$r$和$/bar{r}$是实数共轭，所以它们的差是一个实数，即$r-/bar{r}$是一个实数。又因为有理数的集合在实数中是稠密的，即对于任意实数$x$，都可以在有理数集合中找到一列数趋近于$x$。因此，存在一个有理数序列$/{q_n/}$，使得$q_n/rightarrow r-/bar{r}$。/n/n考虑多项式$f(x)$在$x=r$和$x=/bar{r}$处的值：/n/n$$f(r)=0,/quad f(/bar{r})=0$$ /n/n将$r=/bar{r}+r-/bar{r}$代入上式，得到：/n/n$$f(/bar{r}+r-/bar{r})=0$$ /n/n即：/n/n$$f(/bar{r}+q_n)=0$$ /n/n因为$/{q_n/}$是一个有理数序列，所以$/bar{r}+q_n$也是一个无理数序列，且趋近于$r$。因此，$/bar{r}$也是多项式$f(x)$的根。