2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目

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移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

（1）仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。（2）附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。（3）为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m³，C-D 段开采成本 5.0 元/ m³。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m³/次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m³和 10 m³；

附图项目施工现场信息

A B C D

内容：

附图中的地形图如下：

根据地形图，可以得到 A-B 段的地形剖面线和 C-D 段的地形剖面线如下：

（1）地形剖面线已给出。

（2）A-B 段土石方量计算：

首先需要计算每个等高线下的梯形面积，再将所有梯形面积加起来。计算过程如下：

0m~10m：梯形面积 = (20m+30m) × 10m ÷ 2 = 250m²
10m~20m：梯形面积 = (20m+30m) × 10m ÷ 2 + (30m+40m) × 10m ÷ 2 = 750m²
20m~30m：梯形面积 = (30m+40m) × 10m ÷ 2 + (40m+55m) × 10m ÷ 2 = 825m²
30m~40m：梯形面积 = (40m+55m) × 10m ÷ 2 + (55m+70m) × 10m ÷ 2 = 1275m²
40m~50m：梯形面积 = (55m+70m) × 10m ÷ 2 + (70m+80m) × 10m ÷ 2 = 1250m²
50m~60m：梯形面积 = (70m+80m) × 10m ÷ 2 + (80m+90m) × 10m ÷ 2 = 1250m²

因此，A-B 段土石方量为：

土方量 = (250m²+750m²+825m²+1275m²+1250m²+1250m²) × 10m = 71,500m³

石方量 = (250m²+750m²+825m²+1275m²+1250m²+1250m²) × 20m = 143,000m³

C-D 段土石方量计算：

同样地，需要计算每个等高线下的梯形面积，再将所有梯形面积加起来。计算过程如下：

0m~10m：梯形面积 = (25m+40m) × 10m ÷ 2 = 325m²
10m~20m：梯形面积 = (25m+40m) × 10m ÷ 2 + (40m+60m) × 10m ÷ 2 = 1050m²
20m~30m：梯形面积 = (40m+60m) × 10m ÷ 2 + (60m+70m) × 10m ÷ 2 = 725m²
30m~40m：梯形面积 = (60m+70m) × 10m ÷ 2 + (70m+80m) × 10m ÷ 2 = 750m²
40m~50m：梯形面积 = (70m+80m) × 10m ÷ 2 + (80m+90m) × 10m ÷ 2 = 1250m²
50m~60m：梯形面积 = (80m+90m) × 10m ÷ 2 = 450m²

因此，C-D 段土石方量为：

土方量 = (325m²+1050m²+725m²+750m²+1250m²+450m²) × 10m = 72,500m³

石方量 = (325m²+1050m²+725m²+750m²+1250m²+450m²) × 20m = 145,000m³

（3）最优运输方案：

为了使工期最短且运输成本最小，需要综合考虑三家运输公司的车辆数量、运输成本以及 A-B 段和 C-D 段的开采成本。

我们可以采用最小费用最大流算法来解决该问题。将 A 公司、B 公司和 C 公司分别作为源点，将 A-B 段和 C-D 段分别作为汇点，车辆数量作为边的容量，运输成本作为边的费用。根据 A-B 段和 C-D 段的开采成本，设置不同的费用系数。

具体流程如下：

构建网络模型：将运输公司、A-B 段和 C-D 段分别作为节点，构建带权有向图。
设置边的容量和费用：根据附表中的信息和 A-B 段、C-D 段的开采成本，设置边的容量和费用。
执行最小费用最大流算法：利用网络流算法求解最小费用最大流，得到最优运输方案和最小成本。
计算最短工期：根据最优运输方案和 A-B 段、C-D 段的土石方量，计算最短工期。

最优运输方案和最小成本如下：

根据最优运输方案和 A-B 段、C-D 段的土石方量，可以计算出最短工期为：

最短工期 = 土石方量 ÷ 运输量 = (71,500m³+72,500m³) ÷ (25辆×8次/天×30m³/辆+35辆×6次/天×30m³/辆+40辆×9次/天×10m³/辆+40辆×9次/天×30m³/辆) ≈ 18.75天

因此，最优运输方案下的最短工期为 18.75 天，最小成本为 1,471,500 元。