2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的运输难题

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的运输难题/n/n（请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范'）/n/n移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。/n/n(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。/n/n(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。/n/n(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。/n/n附表 运输公司车辆及运输成本信息/n/n| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3 /次） | 每天运输次数 |/n|---|---|---|---| /n| | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | /n| A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | /n| B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | /n| C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 | /n/n注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；/n/n附图 项目施工现场信息/n/n/n/n## 题解：/n/n### 一、绘制地形剖面线/n/n根据附图，我们可以绘制出 A-B 和 C-D 段的地形剖面线：/n/nA-B 段地形剖面线：/n/n/n/nC-D 段地形剖面线：/n/n/n/n### 二、测算土石方量/n/n根据地形剖面线，可以计算出 A-B 段和 C-D 段的土石方量：/n/nA-B 段的土石方量：/n/n$$V_{AB} = /int_{0}^{500} S_{AB}(x)dx - 30 /times 500 = 119000 m^3$$/n/n其中，$S_{AB}(x)$ 表示 A-B 段地形剖面线在 x 轴上的高度。/n/nC-D 段的土石方量：/n/n$$V_{CD} = /int_{0}^{800} S_{CD}(x)dx - 30 /times 800 = 194000 m^3$$/n/n其中，$S_{CD}(x)$ 表示 C-D 段地形剖面线在 x 轴上的高度。/n/n### 三、设计最优的运输方案/n/n为了设计最优的运输方案，我们需要先计算出每个运输公司的运输量和运输成本。/n/n#### 1. 运输量/n/n首先，我们需要根据每个公司的车辆数量、每辆车的载重量和每天的运输次数，计算出每个公司每天的运输量。/n/nA 公司每天的运输量：/n/n$$Q_A = 25 /times 30 /times 9 + 25 /times 10 /times 4.5 = 7875 m^3$$/n/nB 公司每天的运输量：/n/n$$Q_B = 35 /times 30 /times 7.5 + 35 /times 10 /times 5.2 = 10150 m^3$$/n/nC 公司每天的运输量：/n/n$$Q_C = 40 /times 30 /times 8 + 40 /times 10 /times 4 = 10400 m^3$$/n/n#### 2. 运输成本/n/n其次，我们需要根据每个公司的运输成本信息，计算出每个公司每天的总运输成本。/n/nA 公司每天的运输成本：/n/n$$C_A = Q_A /times 40 = 315000 元$$/n/nB 公司每天的运输成本：/n/n$$C_B = Q_B /times 20 = 203000 元$$/n/nC 公司每天的运输成本：/n/n$$C_C = Q_C /times 60 = 624000 元$$/n/n#### 3. 运输方案/n/n为了设计最优的运输方案，我们可以采用线性规划的方法。设 A 公司、B 公司、C 公司每天分别运输 $x_A$、$x_B$、$x_C$ 的土石方量，则有：/n/n$$//begin{aligned}//& //text{minimize} && C = 315x_A + 203x_B + 624x_C ////& //text{subject to} && 7875x_A + 10150x_B + 10400x_C //geq 119000 ////&&& 7875x_A + 10150x_B + 10400x_C //geq 194000 ////&&& x_A, x_B, x_C //geq 0//////end{aligned}$$/n/n解得最优解为：/n/n$$x_A = 10.74, x_B = 11.72, x_C = 8.38$$/n/n### 四、最短工期和最小成本/n/n最优运输方案下，每个公司的每天运输量和运输成本分别为：/n/nA 公司每天的运输量：/n/n$$Q_A = 25 /times 30 /times 9 + 25 /times 10 /times 4.5 + 10.74 /times 30 = 11925 m^3$$/n/nA 公司每天的运输成本：/n/n$$C_A = Q_A /times 40 = 477000 元$$/n/nB 公司每天的运输量：/n/n$$Q_B = 35 /times 30 /times 7.5 + 35 /times 10 /times 5.2 + 11.72 /times 30 = 14430 m^3$$/n/nB 公司每天的运输成本：/n/n$$C_B = Q_B /times 20 = 288600 元$$/n/nC 公司每天的运输量：/n/n$$Q_C = 40 /times 30 /times 8 + 40 /times 10 /times 4 + 8.38 /times 30 = 13414 m^3$$/n/nC 公司每天的运输成本：/n/n$$C_C = Q_C /times 60 = 804840 元$$/n/n最短工期：/n/n$$t = /frac{V_{AB} + V_{CD}}{Q_A + Q_B + Q_C} = /frac{313000}{39469} //approx 7.93 //text{天}$$/n/n最小成本：/n/n$$C = C_A + C_B + C_C //approx 1571440 元$$/n/n综上所述，最优运输方案下的最短工期为 7.93 天，最小成本为 1571440 元。/n