2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的数学难题

2023 年河北工程大学数学建模竞赛题目 - 基建狂魔的数学难题

(请先阅读'河北工程大学数学建模竞赛论文格式规范')

移山填海，基建 call'模' 随着科学技术的不断发展，我国基建水平与能力不断提高，赢得'基建狂魔'的称号。基建工程技术的发展离不开多种学科的支持，例如测绘、机械、管理科学、工程数学、地理信息学等。我省某地拟规划建设一条高速公路（附图），需要在 A-B 和 C-D 段开挖宽度为 30 米的沟槽。请仔细阅读以下要求，完成相应的题目。

(1) 仔细提取附图中信息，绘制 A-B 和 C-D 段的地形剖面线。

(2) 附图中地形图的等高距为 10 米，根据图中信息测算 A-B 段和 C-D 段的土石方量。

(3) 为使工程尽快完工，施工方同时请三家运输公司（A 公司、B 公司、C 公司）联合施工。其中各公司的基本信息如附表所示，包括车辆类型、车辆数量和运输成本。由于岩性条件差异，导致 A-B 段和 C-D 段的开采成本不同，其中 A-B 段开采成本 3.5 元/m3，C-D 段开采成本 5.0 元/ m3。现施工方请你队设计最优的运输方案，使得工期最短且运输成本最小。同时，给出最优运输方案下的最短工期和最小成本。

附表 运输公司车辆及运输成本信息

| 公司 | 车辆数量（辆） | 运输成本（元/ m3 /次） | 每天运输次数 | |---|---|---|---| | | 重型 | 中型 | 重型 | 中型 | | A | 25 | 40 | 9.0 | 4.5 | 8 | | B | 35 | 20 | 7.5 | 5.2 | 6 | | C | 40 | 60 | 8.0 | 4.0 | 9 |

注：重型和中型卡车载重分别为 30 m3和 10 m3；

附图 项目施工现场信息

[图片]

题目分析：

本题需要绘制地形剖面图，计算土石方量，设计最优运输方案。因此需要掌握绘制地形剖面图的方法、土石方量的计算公式及最优运输方案的设计方法。

解题思路：

1. 绘制地形剖面图

通过附图中的地形图，可以提取出 A-B 和 C-D 段的高程信息，绘制出地形剖面线。可以使用AutoCAD等绘图软件进行绘制，或者手绘。

2. 计算土石方量

根据地形剖面图，可以计算出 A-B 和 C-D 段的土石方量。土石方量的计算公式为：

土石方量 = 面积 × 厚度

其中，面积可以通过地形剖面图中的梯形面积计算得出，厚度为挖掘的深度。根据题目中的要求，A-B 段和 C-D 段的开挖宽度为 30 米，因此可以计算出挖掘的体积，再乘以土石比例即可得到土石方量。

3. 设计最优运输方案

为了设计最优运输方案，需要先计算出各运输公司运输的总成本。运输总成本的计算公式为：

运输总成本 = 运输次数 × 运输成本 × 运输量

其中，运输次数为每天运输次数乘以工期，运输成本为每次运输的成本，运输量为每次运输的体积。

根据题目中的要求，需要使得工期最短且运输成本最小，因此可以使用整数规划方法进行求解，得到最优的运输方案。

最后，根据最优运输方案，可以计算出最短工期和最小成本。

参考代码：（Python 代码）

由于涉及到绘图、整数规划等操作，代码较长，只提供参考。

代码中使用了 Python 的 Matplotlib、Pulp 等库，需要先安装。

附代码链接：https://github.com/ai2020/2023-HBUE-MCM/blob/main/2023-HBUE-MCM.ipynb