求极限：lim_{x->0+} (x^x - (sin x)^x) / x^3 - 详细解题步骤

首先我们可以利用泰勒公式展开 'sin x' 和 'x^x'，得到： $$ \begin{aligned} \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\x^x &= 1 + x\ln x + \frac{(x\ln x)^2}{2!} + \frac{(x\ln x)^3}{3!} + \cdots \end{aligned} $$ 因为 'sin x < x < tan x'，所以对于 'x>0'，有 $$ \begin{aligned} 0 < \frac{x^x - \sin^x x}{x^3} &< \frac{x^x - x^3}{x^3}
&= \frac{1}{x^3} \left[ 1 + x\ln x + \frac{(x\ln x)^2}{2!} + \frac{(x\ln x)^3}{3!} + \cdots - x^3 \right]
&= \frac{1}{x^3} \left[ 1 + x\ln x + \frac{(x\ln x)^2}{2!} + \frac{(x\ln x)^3}{3!} + \cdots - (x\ln x)^3 - 3(x\ln x)^2 - 3x\ln x - 1 \right]
&= \frac{1}{x^3} \left[ (x\ln x)^4 + \frac{(x\ln x)^5}{2!} + \frac{(x\ln x)^6}{3!} + \cdots \right]
&= \frac{(x\ln x)^4}{x^3} \left[ 1 + \frac{x\ln x}{2!} + \frac{(x\ln x)^2}{3!} + \cdots \right]
&= \frac{(x\ln x)^4}{x^3} e^{x\ln x}
&= x(\ln x)^3 e^{x\ln x} \end{aligned} $$ 注意到 'lim_{x\to 0^+} x(\ln x)^3 = 0'，而 'lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} = 1'，因此根据夹逼定理，得到 $$ lim_{x\to 0^+} \frac{x^x - \sin^x x}{x^3} = 0 $$