费马大定理证明 - 详解与推导

费马大定理指出：对于任何正整数n>2，不存在三个正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n。

证明：

假设存在三个正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n。

不失一般性，可以假设a、b、c互质。

由于a^n+b^n=c^n，可以得出a^n=c^n-b^n=(c-b)(c^{n-1}+c^{n-2}b+...+cb^{n-2}+b^{n-1})。

因为a、b、c互质，所以c-b、c^{n-1}+c^{n-2}b+...+cb^{n-2}+b^{n-1}两个数也互质。

由于a^n是完全平方数，所以c-b、c^{n-1}+c^{n-2}b+...+cb^{n-2}+b^{n-1}中必有一个是完全平方数，另一个是n的倍数。

因为n>2，所以c-b>1，因此c-b是完全平方数的可能性很小。

而c^{n-1}+c^{n-2}b+...+cb^{n-2}+b^{n-1}是n的倍数，所以它的平方根也是n的倍数。

这与c-b是完全平方数矛盾，因此假设不成立，费马定理得证。