如何求解曲线弧长积分（不使用函数）

对于一条曲线的弧长积分，可以使用参数方程来求解。假设曲线的参数方程为：/n/n$$/begin{cases}x=x(t) // y=y(t)/end{cases}$$/n/n其中 't' 为参数，可以是时间或者任意实数。则曲线上任意两点之间的距离可以表示为：/n/n$$/Delta s=/sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=/sqrt{(/Delta x)^2+(/Delta y)^2}$$/n/n其中 $/Delta x=x_2-x_1$，$/Delta y=y_2-y_1$。/n/n将参数方程代入上式，得到：/n/n$$/Delta s=/sqrt{(x(t_2)-x(t_1))^2+(y(t_2)-y(t_1))^2}=/sqrt{(/Delta x)^2+(/Delta y)^2}$$/n/n然后对上式进行积分即可求出整条曲线的弧长：/n/n$$s=/int_{t_1}^{t_2}/sqrt{/left(/frac{dx}{dt}/right)^2+/left(/frac{dy}{dt}/right)^2} dt$$/n/n其中 $/frac{dx}{dt}$ 和 $/frac{dy}{dt}$ 分别为 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的导数。