数据对象距离计算：曼哈顿、欧几里得、切比雪夫、余弦距离及皮尔逊相关系数

数据对象距离计算：实例详解

本文以数据对象 X=(37,44,34,8) 和 Y=(16,45,5,24) 为例，详细计算它们之间的几种常用距离：

1. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

曼哈顿距离计算两个向量对应元素绝对差值的总和。

• 计算公式：曼哈顿距离 = |x1-y1| + |x2-y2| + ... + |xn-yn|
• 计算过程：|37-16| + |44-45| + |34-5| + |8-24| = 21 + 1 + 29 + 16 = 67

2. 欧几里得距离（Euclidean Distance）

欧几里得距离计算两个向量的欧几里得范数（L2范数）。

• 计算公式：欧几里得距离 = √[(x1-y1)² + (x2-y2)² + ... + (xn-yn)²]
• 计算过程：√[(37-16)² + (44-45)² + (34-5)² + (8-24)²] ≈ 34.99

3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

切比雪夫距离计算两个向量对应元素的最大差值。

• 计算公式：切比雪夫距离 = max(|x1-y1|, |x2-y2|, ..., |xn-yn|)
• 计算过程：max(|37-16|, |44-45|, |34-5|, |8-24|) = 29

4. 余弦距离（Cosine Distance）

余弦距离计算两个向量的余弦相似度的差别，等于1减去余弦相似度。

• 计算公式：
  • 余弦相似度 = (x1y1 + x2y2 + ... + xn*yn) / (√(x1² + x2² + ... + xn²) * √(y1² + y2² + ... + yn²))
  • 余弦距离 = 1 - 余弦相似度
• 计算过程：
  • 余弦相似度 = (3716 + 4445 + 345 + 824) / (√(37² + 44² + 34² + 8²) * √(16² + 45² + 5² + 24²)) ≈ 0.6401
  • 余弦距离 = 1 - 0.6401 ≈ 0.3599

5. 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）

皮尔逊相关系数计算两个向量之间的线性相关性。

• 计算公式：皮尔逊相关系数 = cov(X, Y) / (std(X) * std(Y))
  • cov(X, Y) 是 X 和 Y 的协方差
  • std(X) 和 std(Y) 分别是 X 和 Y 的标准差
• 计算过程：
  • cov(X, Y) = (37-24.75)(16-22.5) + (44-24.75)(45-22.5) + (34-24.75)(5-22.5) + (8-24.75)(24-22.5) ≈ -257.31
  • std(X) ≈ 14.97，std(Y) ≈ 16.37
  • 皮尔逊相关系数 = -257.31 / (14.97 * 16.37) ≈ -0.495

总结

通过以上计算，我们得到了数据对象 X 和 Y 之间的距离：

• 曼哈顿距离 ≈ 67
• 欧几里得距离 ≈ 34.99
• 切比雪夫距离 = 29
• 余弦距离 ≈ 0.3599
• 皮尔逊相关系数 ≈ -0.495