e^(-y^2) 的原函数详解及求解步骤

首先，我们需要知道什么是指数函数。指数函数是以常数 e 为底的幂函数，即 f(x) = e^x。在这个基础上，我们可以考虑将 e^(-y^2) 看成一个指数函数的复合函数，即 f(y) = e^(-y^2)。

下面，我们来求 f(y) 的原函数。首先，我们可以将 f(y) 写成 f(y) = e^(-y^2) = e^(-(y^2))。然后，我们可以将 e^(-(y^2)) 写成 e^(-(y^2)) * (-2y) / (-2y) 的形式，然后利用分部积分公式求解。

具体来说，我们可以令 u = -y，dv = e^(-(y^2)) * (-2y)dy。那么，du = -dy，v = (1/(-2)) * e^(-(y^2))。根据分部积分公式，我们有：

∫e^(-(y^2))dy = (-1/2) * e^(-(y^2)) * y - ∫(1/2) * e^(-(y^2)) * (-dy)

化简一下，得到

∫e^(-(y^2))dy = (-1/2) * e^(-(y^2)) * y + (1/2) * ∫e^(-(y^2))dy

这个式子看起来和原来的式子很像，只不过多了一个常数项。我们可以继续进行分部积分，不断地将常数项抵消，最终得到：

∫e^(-(y^2))dy = (1/2) * √π * erf(y) + C

其中，erf(y) 是误差函数，C 是一个固定的常数。这个式子就是 e^(-(y^2)) 的原函数。